[josepapaiii]

Hola, me piden el siguiente ejercicio:

Discuta sobre la existencia y unicidad de la solución de los siguientes problemas de interpolación.

a) Encontrar \( p \in \mathbb{P}_3 \) tal que \( p(0)=p(1)=1, p''(0)=0 \) y \( p'(1)=1 \);
b) Encontrar \( p \in \mathbb{P}_2 \) tal que \( p(-1)=p(1)=1 \) y \( p'(0)=0 \);
c) Encontrar \( p \in \mathbb{P}_2 \) tal que \( p(-1)=p(1)=1 \) y \( p'(0)=1 \);
d) Encontrar \( p \in \mathbb{P}_2 \) tal que \( p(0)=1,p'(0)=1 \) y \( \displaystyle\int_{-1}^{1}p(t)dt=1 \).

Encontrar la expresión de \( p \) cuando sea posible.


No sabría el criterio para poder discutir sobre la existencia y unicidad más allá de la siguiente proposición:

Proposition 1.5. There exists a unique \( p \in \mathbb{P}_{N-1}, , N = m_0 + ··· + m_n \), that satisfies the Hermite interpolation conditions.

Pero no tendría las condiciones de interpolación.

Si alguien puede ayudar, lo agradecería.

Saludos.

[mathtruco]

Hola josepapaiii.

Discuta sobre la existencia y unicidad de la solución de los siguientes problemas de interpolación.

a) Encontrar \( p \in \mathbb{P}_3 \) tal que \( p(0)=p(1)=1, p''(0)=0 \) y \( p'(1)=1 \);

Para la parte a), si \( p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \), entonces, como \( p''(0)=0 \), y \( p''(x)=2a_2+6a_3x \), entonces \( \boxed{a_2=0} \); y como \( p(0)=1 \), entonces \( \boxed{a_0=1} \).

Llevamos que

    \( p(x)=1+a_1x+a_3x^3 \).

Ahora, como \( p'(1)=p(1)=1 \), obtenemos el sistema un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas (\( a_1 \) y \( a_3 \)), el cual puedes probar que tiene única solución (su matriz asociada tiene determinante no nulo).

Con eso habrás probado que existe un único polinomio que satisface las condiciones.

Nota que dan 4 condiciones que debe satisfacer un polinomio de grado 3 (definido por 4 coeficientes). Los otros problemas son polinomios de grado 2 (definidos por 3 coeficientes) y deben satisfacer 3 condiciones, así que, aunque no he hecho las cuentas, seguramente la forma de analizarlos es la misma.

Trata de hacer los otros, y si te dan dificultades vuelve a preguntar.

[ani_pascual]

Hola:

Pero no tendría las condiciones de interpolación.

Si alguien puede ayudar, lo agradecería.
...

Te ayudo con el apartado d)... 
Si es
\( p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2 \), se tiene \( p(0)=a_0=1\\
p'(0)=a_1=1, \) ya que \( p'(x)=a_1+2a_2x \).
Finalmente
\( \displaystyle\int_{-1}^1p(t)\,dt=1\Longleftrightarrow\displaystyle\int_{-1}^1(1+t+a_2t^2)\,dt=1\Longrightarrow\\
\left. t+\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{2a_2t^3}{3}\right|_{-1}^1=2+\dfrac{4a_2}{3}=1\Longrightarrow a_2=\dfrac{-3}{4} \) de donde es \( \boxed{p(x)=1+x-\dfrac{3}{4}x^2} \).
La solución existe y es única, por la misma razón que te ha explicado mathtruco
Saludos