[Nub]

Hola. Hallar el dominio y los conjuntos de nivel

1) \( f(x,y,z)=\displaystyle\frac{y}{x-y-z} \)

Supongo que el dominio es simplemente \( \mathbb{{R^3}-\left\{{(x,y,z)/x-y-z=0}\right\}} \)

Ahora los conjunto de nivel no se si esta bien o hay una mejor forma:

\( C_a \) con \( a>0 \)
\( a=\displaystyle\frac{y}{x-y-z}\Rightarrow{y=a(x-y-z} \)
\( C_a=\left\{{(x,a(x-y-z),z):x,y,z\in{\mathbb{R}/x-y-z\neq0}}\right\} \)
No se me ocurre una mejor forma...

Gracias

[ani_pascual]

Hola:

Hola. Hallar el dominio y los conjuntos de nivel

1) \( f(x,y,z)=\displaystyle\frac{y}{x-y-z} \)

Supongo que el dominio es simplemente \( \mathbb{{R^3}-\left\{{(x,y,z)/x-y-z=0}\right\}} \)

Ahora los conjunto de nivel no se si esta bien o hay una mejor forma:

\( C_a \) con \( a>0 \)
\( a=\displaystyle\frac{y}{x-y-z}\Rightarrow{y=a(x-y-z} \)
\( C_a=\left\{{(x,a(x-y-z),z):x,y,z\in{\mathbb{R}/x-y-z\neq0}}\right\} \)
No se me ocurre una mejor forma...
...

Observa que como la función es de tres variables, los conjuntos de nivel son conjuntos de \( \mathbb{R}^3 \), en este caso, planos que pasan por el origen:
\( a=\dfrac{y}{x-y-z}\Longleftrightarrow a(x-y-z)=y\Longleftrightarrow ax-(a+1)y-az=0 \) donde \( a\in\mathbb{R} \)
Saludos

[Nub]

Hola:

Hola. Hallar el dominio y los conjuntos de nivel

1) \( f(x,y,z)=\displaystyle\frac{y}{x-y-z} \)

Supongo que el dominio es simplemente \( \mathbb{{R^3}-\left\{{(x,y,z)/x-y-z=0}\right\}} \)

Ahora los conjunto de nivel no se si esta bien o hay una mejor forma:

\( C_a \) con \( a>0 \)
\( a=\displaystyle\frac{y}{x-y-z}\Rightarrow{y=a(x-y-z} \)
\( C_a=\left\{{(x,a(x-y-z),z):x,y,z\in{\mathbb{R}/x-y-z\neq0}}\right\} \)
No se me ocurre una mejor forma...
...

Observa que como la función es de tres variables, los conjuntos de nivel son conjuntos de \( \mathbb{R}^3 \), en este caso, planos que pasan por el origen:
\( a=\dfrac{y}{x-y-z}\Longleftrightarrow a(x-y-z)=y\Longleftrightarrow ax-(a+1)y-az=0 \) donde \( a\in\mathbb{R} \)
Saludos

Hola ani_pascual
Y como me queda el conjunto? asi? \( \left\{{(x,y,z)\in{\mathbb{R^3}}/ ax-(a+1)y-az=0/a\in{\mathbb{R}}}\right\} \)

[ani_pascual]

Hola Nub:

...
Hola ani_pascual
Y como me queda el conjunto? asi? \( \left\{{(x,y,z)\in{\mathbb{R^3}}/ ax-(a+1)y-az=0/a\in{\mathbb{R}}}\right\} \)

Sí, para cada \( a\in\mathbb{R} \) tienes el conjunto de nivel \( C_a=\left\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}^3}\,|\, ax-(a+1)y-az=0\right\} \)
Saludos

[Nub]

Hola Nub:

...
Hola ani_pascual
Y como me queda el conjunto? asi? \( \left\{{(x,y,z)\in{\mathbb{R^3}}/ ax-(a+1)y-az=0/a\in{\mathbb{R}}}\right\} \)

Sí, para cada \( a\in\mathbb{R} \) tienes el conjunto de nivel \( C_a=\left\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}^3}\,|\, ax-(a+1)y-az=0\right\} \)
Saludos

Muchas gracias

[Masacroso]

Hola Nub:

...
Hola ani_pascual
Y como me queda el conjunto? asi? \( \left\{{(x,y,z)\in{\mathbb{R^3}}/ ax-(a+1)y-az=0/a\in{\mathbb{R}}}\right\} \)

Sí, para cada \( a\in\mathbb{R} \) tienes el conjunto de nivel \( C_a=\left\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}^3}\,|\, ax-(a+1)y-az=0\right\} \)
Saludos

Ahí sólo faltaría eliminar los puntos tales que \(x-y-z=0\), que en este caso son aquellos en los que \(y=0\) y \(x=z\). Es decir, quedaría

\[
f^{-1}(a)=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:(ax-(a+1)y-az=0)\,\land\, (y\neq 0\,\lor\, x\neq z)\}
\]