Si \( f: [a, b] \to \mathbb{R} \) es fuertemente convexa módulo \( c > 0 \), significa que satisface la desigualdad:
\[
f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y) - c t(1-t) (x - y)^2, \quad \forall x, y \in [a, b], \quad \forall t \in [0,1].
\]
Si \( f \) fuera simplemente convexa, tendríamos la desigualdad estándar:
\[
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \frac{b-a}{2} (f(a) + f(b)).
\]
Queremos modificar esta desigualdad teniendo en cuenta la fuerte convexidad de \( f \).
Por la definición de fuerte convexidad, aplicamos la desigualdad para cada punto del intervalo \([a,b]\):
\[
f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y) - c t(1-t) (x - y)^2.
\]
Integrando en \( t \in [0,1] \), obtenemos:
\[
\int_{0}^{1} f(a(1-t) + bt) \, dt \leq \int_{0}^{1} [(1-t) f(a) + t f(b)] \, dt - \int_{0}^{1} c t(1-t) (b-a)^2 \, dt.
\]
Calculamos el primer término en la parte derecha:
\[
\int_{0}^{1} [(1-t) f(a) + t f(b)] \, dt = f(a) \int_{0}^{1} (1-t) \, dt + f(b) \int_{0}^{1} t \, dt.
\]
Evaluando los valores de las integrales:
\[
\int_{0}^{1} (1-t) \, dt = \frac{1}{2}, \quad \int_{0}^{1} t \, dt = \frac{1}{2}.
\]
Entonces:
\[
\int_{0}^{1} [(1-t) f(a) + t f(b)] \, dt = \frac{1}{2} f(a) + \frac{1}{2} f(b).
\]
Ahora, evaluamos el término de la corrección por fuerte convexidad:
\[
\int_{0}^{1}c t(1-t) (b-a)^2 \, dt.
\]
Como
\[
\int_{0}^{1} t(1-t) \, dt = \frac{1}{6},
\]
se sigue que:
\[
\int_{0}^{1} c t(1-t) (b-a)^2 \, dt = \frac{c}{6} (b-a)^2.
\]
Multiplicando por \( (b-a) \), obtenemos:
\[
\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \frac{b-a}{2} (f(a) + f(b)) - \frac{c}{6} (b-a)^3.
\]
Cuando \( f \) es fuertemente convexa con módulo \( c \), la desigualdad integral se refina como:
\[
\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \frac{b-a}{2} (f(a) + f(b)) - \frac{c}{6} (b-a)^3.
\]
Para $\Psi$ de nuestra hip\'otesis\\
Partimos dividiendo el intervalo \([ \rho_1, \rho_2 ]\) en dos partes iguales con el punto medio:
\[
m := \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}.
\]
Para el primer subintervalo \([ \rho_1, m ]\), la fuerte convexidad implica:
\[
\int_{\rho_1}^{m} \Psi(u)\,du \leq \frac{m - \rho_1}{2} \left( \Psi(\rho_1) + \Psi(m) \right) - \frac{c}{6} (m - \rho_1)^3.
\]
Como \( m - \rho_1 = \frac{\rho_2 - \rho_1}{2} \), se obtiene:
\[
\int_{\rho_1}^{m} \Psi(u)\,du \leq \frac{\rho_2 - \rho_1}{4} \left( \Psi(\rho_1) + \Psi(m) \right) - \frac{c}{6} \left( \frac{\rho_2 - \rho_1}{2} \right)^3.
\]
Análogamente, en el intervalo \([m, \rho_2]\), se tiene:
\[
\int_{m}^{\rho_2} \Psi(u)\,du \leq \frac{\rho_2 - \rho_1}{4} \left( \Psi(m) + \Psi(\rho_2) \right) - \frac{c}{6} \left( \frac{\rho_2 - \rho_1}{2} \right)^3.
\]
Sumando las dos expresiones anteriores,
\[
\int_{\rho_1}^{m} \Psi(u)\,du + \int_{m}^{\rho_2} \Psi(u)\,du \leq \frac{\rho_2 - \rho_1}{4} \left( \Psi(\rho_1) + \Psi(m) \right) + \frac{\rho_2 - \rho_1}{4} \left( \Psi(m) + \Psi(\rho_2) \right) - \frac{c}{6} \left( \frac{\rho_2 - \rho_1}{2} \right)^3 - \frac{c}{6} \left( \frac{\rho_2 - \rho_1}{2} \right)^3.
\]
Dado que
\[
\int_{\rho_1}^{\rho_2} \Psi(u)\,du = \int_{\rho_1}^{m} \Psi(u)\,du + \int_{m}^{\rho_2} \Psi(u)\,du,
\]
se obtiene:
\[
\int_{\rho_1}^{\rho_2} \Psi(u)\,du \leq \frac{\rho_2 - \rho_1}{4} \left( \Psi(\rho_1) + 2\Psi(m) + \Psi(\rho_2) \right) - \frac{2c}{6} \left( \frac{\rho_2 - \rho_1}{2} \right)^3.
\]
Reescribiendo,
\[
\int_{\rho_1}^{\rho_2} \Psi(u)\,du \leq \frac{\rho_2 - \rho_1}{4} \left( \Psi(\rho_1) + 2\Psi(m) + \Psi(\rho_2) \right) - \frac{c}{6} \frac{(\rho_2 - \rho_1)^3}{4}.
\]
Dividiendo ambos lados por \( \rho_2 - \rho_1 \), obtenemos la nueva cota para el promedio integral:
\[
\frac{1}{\rho_2 - \rho_1} \int_{\rho_1}^{\rho_2} \Psi(u)\,du \leq \frac{1}{4} \left( \Psi(\rho_1) + 2\Psi(m) + \Psi(\rho_2) \right) - \frac{c}{24} (\rho_2 - \rho_1)^2.
\]
As\'i,
\[
\frac{1}{\rho_2 - \rho_1} \int_{\rho_1}^{\rho_2} \Psi(u)\,du \leq \frac{1}{2} \left[ \Psi\left(\frac{\rho_1+\rho_2}{2}\right) + \frac{\Psi(\rho_1) + \Psi(\rho_2)}{2} - \frac{c}{12} (\rho_2 - \rho_1)^2\right].
\]
