[Julio_fmat]

Definamos sobre \( \mathbb{N} \) las relaciones \( R \) y \( S \) siguientes, para \( x,y\in \mathbb{N} \):

\( xRy \longleftrightarrow \exists m\in \mathbb{Z}: x^2-y^2=3m \)

\( xSy \longleftrightarrow \exists m\in \mathbb{Z}: x^2-y^2=3m+1 \)

Diga, para cada una de estas relaciones, cuáles son reflexivas, simétricas y transitivas.

Hola, buen día foro. Se tiene que para la reflexividad que

\( (x,x)\in R \Longleftrightarrow x^2-x^2=3m\iff 0=3m \iff m=0\in \mathbb{Z}. \) Es decir, existe al menos un \( m \) entero.

\( (x,x)\in S \iff x^2-x^2=3m+1\iff 0=3m+1\iff m=-\dfrac{1}{3}\notin \mathbb{Z} \).

[Luis Fuentes]

Hola

Definamos sobre \( \mathbb{N} \) las relaciones \( R \) y \( S \) siguientes, para \( x,y\in \mathbb{N} \):

\( xRy \longleftrightarrow \exists m\in \mathbb{Z}: x^2-y^2=3m \)

\( xSy \longleftrightarrow \exists m\in \mathbb{Z}: x^2-y^2=3m+1 \)

Diga, para cada una de estas relaciones, cuáles son reflexivas, simétricas y transitivas.

Hola, buen día foro. Se tiene que para la reflexividad que

\( (x,x)\in R \Longleftrightarrow x^2-x^2=3m\iff 0=3m \iff m=0\in \mathbb{Z}. \) Es decir, existe al menos un \( m \) entero.

\( (x,x)\in S \iff x^2-x^2=3m+1\iff 0=3m+1\iff m=-\dfrac{1}{3}\notin \mathbb{Z} \).

Bien. Has probado que la primera es reflexiva y la segunda no. Correcto.

Saludos.

[Julio_fmat]

Hola

Definamos sobre \( \mathbb{N} \) las relaciones \( R \) y \( S \) siguientes, para \( x,y\in \mathbb{N} \):

\( xRy \longleftrightarrow \exists m\in \mathbb{Z}: x^2-y^2=3m \)

\( xSy \longleftrightarrow \exists m\in \mathbb{Z}: x^2-y^2=3m+1 \)

Diga, para cada una de estas relaciones, cuáles son reflexivas, simétricas y transitivas.

Hola, buen día foro. Se tiene que para la reflexividad que

\( (x,x)\in R \Longleftrightarrow x^2-x^2=3m\iff 0=3m \iff m=0\in \mathbb{Z}. \) Es decir, existe al menos un \( m \) entero.

\( (x,x)\in S \iff x^2-x^2=3m+1\iff 0=3m+1\iff m=-\dfrac{1}{3}\notin \mathbb{Z} \).

Bien. Has probado que la primera es reflexiva y la segunda no. Correcto.

Saludos.

Muchas Gracias Luis.

¿Y cómo debo demostrar la simetría y la transitividad?

Bueno, para la simetría lo haría así:

Si \( (x,y)\in R \), entonces \( (y,x)\in R \).

Vemos que \( x^2-y^2=3m\longrightarrow y^{2}-x^{2}=-3m=3(-m) \).

Es decir, existe \( -m\in \mathbb{Z} \) tal que \( (y,x)\in R \), porque si \( m\in \mathbb{Z} \), entonces \( -m\in \mathbb{Z}. \) Por lo tanto, \( R \) es simétrica. (Se podría dejar expresado como \( y^2-x^2=3k \) con \( k=-m\in \mathbb{Z} \)?)

Para la otra, si \( (x,y)\in S \), entonces \( (y,x)\in S. \) En efecto, se tiene

\( (y,x)\in S\longrightarrow y^2-x^2=-(3m+1)=-3m-1 \).

Estaba viendo la pauta del parcial, y en la solución se toman valores particulares para \( x,y\in \mathbb{N} \), (¿como contraejemplo?) ¿Qué pares ordenados me sirven tomar?

Entonces, \( S \) no sería simétrica, no sé cómo explicarlo mejor. 

[Luis Fuentes]

Hola

¿Y cómo debo demostrar la simetría y la transitividad?

Bueno, para la simetría lo haría así:

Si \( (x,y)\in R \), entonces \( (y,x)\in R \).

Vemos que \( x^2-y^2=3m\longrightarrow y^{2}-x^{2}=-3m=3(-m) \).

Es decir, existe \( -m\in \mathbb{Z} \) tal que \( (y,x)\in R \), porque si \( m\in \mathbb{Z} \), entonces \( -m\in \mathbb{Z}. \) Por lo tanto, \( R \) es simétrica. Se podría dejar expresado como \( y^2-x^2=3k \) con \( k=-m\in \mathbb{Z} \)?)

Bien. Puedes expresarlo poniendo esa frase que dijiste al final, con \( k=-m \) o simplemente como lo escribiste antes porque \( -m\in \Bbb Z \) le llames \( k \) o no. Las dos formas de expresarlo son correcta.

Para la otra, si \( (x,y)\in S \), entonces \( (y,x)\in S. \) En efecto, se tiene

\( (y,x)\in S\longrightarrow y^2-x^2=-(3m+1)=-3m-1 \).

¿Por qué dices "en efecto" si de hecho no se cumple? En todo caso, veámoslo.

¿Por qué empiezas por \( (y,x)\in S \) y no por \( (x,y)\in S \)?

 Sería \( (x,y)\in S\quad \Rightarrow{}\quad x^2-y^2=3m+1 \) para algún \( m\in \Bbb Z \).

 Entonces \( y^2-x^2=-3m-1 \). ¿Pero eso equivlae a qué \( y^2-x^2=3k+1 \) para algún \( k \) entero? Todo hace sospechar que no.

 Entonces para probar que una propiedad falla hay que dar un ejemplo concreto donde no se cumple. Entonces escogemos un par \( (x,y) \) cualquiera que cumpla \( (x,y)\in S \), es decir, que cumpla \( x^2-u^2=3m+1 \) para algún \( m \) entero. Por ejemplo \( (x,y)=(1,0) \) donde:

\( 1^2-0^2=1=3\cdot 0+1 \)

Sin embargo:

\( 0^2-1^2=-1 \)

¿Es posible expresar \( -1 \) comp \( 3k+1 \) para algún \( k \) entero? No, porque tendríamos:

\( 3k+1=-1\quad \Rightarrow{}\quad k=3/2 \) no entero.

Tenemos entonces que \( (1,0)\in S \) pero \( (0,1)\not\in S \). Por tanto NO es simétrica.

Saludos.