Para añadir algo un poco menos interesante a la discusión, creo que la probabilidad de que existan infinitos Pex tiende a nula. Es decir creo que hay finitos Pex.
Mi razonamiento es este, el último dígito de un Pex de mas de 1 cifra es 3 o 7 osea 2 de 10 posibles
como los primos pueden tener 4 de 10 ya sabemos que el 25% de los primos no pueden ser Pex
para el resto de los dígitos $$n-1$$ solo puede tener 4 de 10 posibles
luego la probabilidad de que exista un número de tales características es $$p=0.4^{n-1}0.2$$ es bajísima... pero la cantidad de números que cumplen la condición es muchísima $$m=\cong 2\cdot 4^{n-1}$$
el límite de esta probabilidad cuando \( n \) tiende a infinito es cero, si bien esto no dice nada porque hay infinitos primos... pero un limite tendiendo a cero por uno tendiendo infinito es indeterminado , pero no infinito. Además cuando $$n$$ crece $$\pi(n)/n$$ decrece.
Que haya un Pex o algo parecido cercano a las 82000 cifras y lo tengan escrito ya me parece asombroso
Las otras condiciones tampoco ayudan para un numero \( n \) de cifras la suma m de sus cifras resulta tener probabilidad de ser prima en $$\pi(m)/m$$
Cumplir la condición \( 3 \) es mas fácil a medida que aumenta el número de cifras pues por cada numero hay $$n-1$$ posibles pares de parejas de primos
El tipo de preguntas que me hago es si puedo probar que un Pex es mas propenso a ser capicúa que un primo normal.
Edito hasta ahora hallé 6 capicúas entre 140 Pexs, el mas grande hasta ahora el $$3233323$$ lo divides en $$3$$ y $$233323$$ la suma de sus cifras es $$19$$
La segunda pregunta que me hago es ¿cómo c... saben que un número de 200 cifras es primo, comprobar que es pex debería ser mas fácil, aunque haya que buscar dos primos de menos cifras???
