Hola
Hola Luis. Hice una edición en mathextchange donde trato de explicar mejor la idea.
Si. Y te han cerrado el tema con toda la razón del mundo. Además de lo que allí indican con la modificación que has hecho, que cambia el enfoque de lo que preguntabas al principio, dejas parcialmente descontextualizadas las respuestas que te han dado.
Creo que tienes que ser más cuidadoso en el manejo de los foros. Una vez que te han respondido no puedes cambiar la pregunta, borrando la anterior. Cosa distinta es añadir nuevas cosas manteniendo las anteriores e indicando que se ha agregado algo más.
Pero lo que quiero decir es que cada par de ternas pitagoricas primitivas completarías están relacionadas con una única terna pitagórica primitiva de manera que las diferencias entre catetos y del mayor con la hipotenusa del par complementario son los cuadrados de la suma y de la diferencia de los catetos de aquella terna de la cual se obtienen por el método que allí explico. Agradezco tu opinión. Saludos
Ahora te contesto a eso. Pero insisto en que lo que dices ahora no es lo que planteaste en un primer momento ni en este hilo ni en el de math.stackexchange.
Puntualizado todo esto,
está bien el método que das para construir pares de ternas pitagóricas complementarias y de hecho todas pueden obtenerse así. Detallo tu método explicaado a mi manera y donde se justifica lo anterior.
Dado un tal par \( (a,b,c) \) y \( (a',b',c') \) cumpliendo:
\( a^2+b^2=c^2,\quad a'^2+b'^2=c'^2,\quad a+c'=b+b'=a'+c \)
con \( mcd(a,b,c)=mcd(a',b',c')=1 \), tiene que ocurrir que \( b \) y \( b' \) son pares, teniendo en cuenta \( a+c'=b+b'=a'+c \), que \( c,c' \) son siempre impares y de cada terna sólo uno de los catetos es par.
1) Ahora \( c-b \) y \( c'-b' \) son cuadrados perfectos.
Spoiler
Eso se puede ver teniendo en cuenta que \( a^2=(b-c)(b+c) \) y la coprimalidad o directamente de la conocida caraterización de las ternas pitagórficas \( c=m^2+n^2 \), \( b=2mn \).
2) Pero como \( a+c'=b+b'=a'+c \), \( b'-a'=c-b \) y \( b-a=c'-b' \) también son cuadrados perfectos.
3) Supondremos sin pérdida de generalidad que \( b-a\leq c-b \).
Spoiler
Si \( b-a>c-b \), dado que \( b-a=c'-b' \) y \( c-b=b'-a' \) basta intercambiar los papeles de ambas ternas.
4) Entonces imponemos \( y-x=\sqrt{b-a} \), \( y+x=\sqrt{c-b} \) y despejando:
\( x=\dfrac{\sqrt{c-b}-\sqrt{b-a}}{2},\quad y=\dfrac{\sqrt{c-b}+\sqrt{b-a}}{2},\quad z=\sqrt{x^2+y^2}=\dfrac{c-a}{2} \)
es una terna pitagórica \( (x,y,z) \).
Spoiler
\( (c-a)/2 \) es un cuadrado perfecto porque de la conocida parametrización de las ternas pitagóricas, \( c-a=m^2+n^2-(m^2-n^2)=2n^2 \).
6) Recíprocamente dada \( (x,y,z) \) terna pitagórica primitiva con \( x \) par e \( x<y \), puede construirse un par de ternas complementarias dándole la vuelta al procedimiento que describimos antes. Se llega a:
\( a=(y-x)^2+2(y-x)z \)
\( b=a+(x+y)^2 \)
\( c=b+(y-x)^2 \)
\( a'=(y+x)^2+2(y-x)z \)
\( b'=a+(y-x)^2 \)
\( c'=b+(y+x)^2 \)
Basta hacer las cuentas para comprobar que efectivamente \( a^2+b^2=c^2 \) y \( a'^2+b'^2=c'^2 \) y que \( a+c'=b+b'=a'+c \) y que aplicando el método (4) se recuperan la ternas original \( (x,y,z) \).
Saludos.
