Demostración del Binomio de Newton por inducción matemática.
Este teorema se basa en la siguiente formula:
\( A(n):(a+b)^{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} a^{n-i} b^{i} \)
Base de Inducción.
Vereificamos el caso base para n = 1:
\[ A(1): (a+b)^{1} = a + b = \displaystyle\sum_{i=0}^{1}\binom{1}{i} a^{1-i} b^{i} = \binom{1}{0} a^{1-0} b^{0}
+ \binom{1}{1} a^{1-1} b^{1} = a + b \]
Por lo tanto, podemos afirmar que para n=1, la fórmula se cumple.
Hipótesis de Inducción.
Supóngase que cumple para un valor arbitrario n = k, es decir:
\[ A(k): (a+b)^{k} = \displaystyle\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i} a^{k-i} b^{i} \]
Paso inductivo.
Ahora probemos si cumple para n = k+1, es decir:
\[ A(k+1): (a+b)^{k+1} = \displaystyle\sum_{i=0}^{k+1}\binom{k+1}{i} a^{k+1-i} b^{i}
\longrightarrow{(a+b)^{k} (a+b) = (a+b) \displaystyle\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i} a^{k-i} b^{i}} \]
\[ = a \displaystyle\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i} a^{k-i} b^{i} + b \displaystyle\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i} a^{k-i} b^{i} = \displaystyle\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i} a^{k+1-i} b^{i} + \displaystyle\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i} a^{k-i} b^{i+1}, S_{1} + S_{2} = (a+b)^{K+1} \]
Donde:
\[ S_{1} = \displaystyle\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i} a^{k+1-i} b^{i} \]
\[ S_{2} = \displaystyle\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i} a^{k-i} b^{i+1} \]
Realizamos un cambio de índice en la sumatoria de \[ S_{2} \] definiendo \[ j = i + 1 \]. Así, cuando \[ i = 0, j = (0) + 1, \] y cuando \[ i = k, j = (k) + 1 \]:
\[ \displaystyle\sum_{j=1}^{k+1}\binom{k}{j-1} a^{k-(j-1)} b^{(j-1)+1} = \displaystyle\sum_{j=1}^{k+1}\binom{k}{j-1} a^{k+1-j} b^{j} = S_{2}. \]
Hacemos un procedimiento parecido para \[ S_{1} \], pero con la diferencia en que \[ i = j \], tenemos que:
\[ S_{1} = \displaystyle\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j} a^{k+1-j} b^{j} \]
Dado que ambas sumatorias tienen el mismo argumento, pero difieren en sus límites superior e inferior, las unificamos en una sola que abarque todos los valores desde j = 0 hasta j = k+1:
\[ \displaystyle\sum_{j=0}^{k+1}(\binom{k}{j}+\binom{k}{j-1} )a^{k+1-j} b^{j} = \displaystyle\sum_{j=0}^{k+1}\binom{k+1}{j} a^{k+1-j} b^{j} \]\( \quad \square \)
