[RDC]

1) Sean $$a,b$$ dos números naturales coprimos entre sí

2) Sea \( p^3=3(a+b) \)

Demostrar si la siguiente igualdad es cierta o falsa:

$$ab= \displaystyle\frac{p^3(p^2-9)}{54}$$

Saludos

[Pie]

Si \( p = 3  \) la parte derecha de la igualdad es \( 0 \), pero hay números coprimos que cumplen \( 27 = 3(a +b) \), como \[ a =4 \] y \( b=5 \). Por tanto sería falsa, si no entendí nada mal.. 

Saludos.

[feriva]

1) Sean $$a,b$$ dos números naturales coprimos entre sí

2) Sea \( p^3=3(a+b) \)

Demostrar si la siguiente igualdad es cierta o falsa:

$$ab= \displaystyle\frac{p^3(p^2-9)}{54}$$

Saludos

con \( p=3 \), \( p^{3}=3(1+8) \) (entonces podemos hacer por ejemplo a=1, b=8, que son coprimos).

se tiene que sustituyendo aquí

\( ab={\displaystyle \frac{p^{3}(p^{2}-9)}{54}} \)

es

\( 8={\displaystyle \frac{27(9-9)}{54}} \)

8=0

Es falso.

Saludos.

Se adelantó Pie

[Luis Fuentes]

Hola

1) Sean $$a,b$$ dos números naturales coprimos entre sí

2) Sea \( p^3=3(a+b) \)

Demostrar si la siguiente igualdad es cierta o falsa:

$$ab= \displaystyle\frac{p^3(p^2-9)}{54}$$

No sólo es que haya un contraejemplo que muestra que es falsa; si no me equivoco esas dos igualdades nunca se dan simultáneamente para \( a,b \) coprimos.

Si sustituimos la primera en la segunda queda:

\( 18ab=(a+b)(p^2-9) \)

Dado que \( a,b \) son coprimos \( (ab,a+b) \) son coprimos, y por tanto \( ab \) divide a \( p^2-9 \), es decir, \( p^2-9=kab \).Queda:

\( 18=k(a+b) \)

Por tanto \( a+b \) es un divisor de \( 18 \). Dado que \( a,b \) son naturales coprimos las únicas posibilidades son (excluimos parejas con los mismos números en orden inverso):

\( a+b=2 \) y \( (a,b)=(1,1) \)
\( a+b=3 \) y \( (a,b)=(1,2) \)
\( a+b=6 \) y \( (a,b)=(1,5) \)
\( a+b=9 \) y \( (a,b)=(1,8),(2,7),(4,5) \)
\( a+b=18 \) y \( (a,b)=(1,17),(5,13),(7,11) \)

Pero para que \( p^3=3(a+b) \) sea cubo perfecto la única opción es \( a+b=9 \) y \( p=3 \) y en ese caso no se da la otra igualdad.

Saludos.

[RDC]

Gracias a todos