[Nub]

Hola, la entiendo bastante la demostración  pero es media confusa

Probar que un punto \( a \) es de acumulación de un conjunto \( X \) \( \Longleftrightarrow{} \) existe una sucesión \( (x_k) \subset{} X − \left\{{a}\right\} \) que converge a \( a \)



Entiendo la idea del directo, ya la vi varias veces, es crear una sucesión variando los epsilons, haciendolos cada vez mas chicos vamos tomando los elementos y estos se van acercando mas a el elemento que queremos que la sucesión converja.

Lo primero que no entiendo es lo rojo, que es \( x \)? el punto de acumulacion era \( a \) por lo tanto no entiendo porque distinto de x.

Lo azul no lo veo tanto, por ser \( a \) punto de acumulacion \( \forall{\epsilon>0,B^*(a,\epsilon)}\cap{X}\neq \emptyset \) y no se de donde sale lo otro, lo que hay un \( e_n<e \)

Lo verde tambien es un poco confuso, pero supongo que usa la definición de límite en el sentido de que hay elementos de X en la bola \( B(a,\epsilon) \) pero como \( X \) le quitaron el elemento \( a \) todos esos elementos de X dentro de la bola son distintos que \( a \) por lo tanto seria parecido a la definición de punto de acumulación, acá la gracia es que la bola de centro a y radio epsilon no es una bola reducida pero como se eliminó \( a \) del conjunto X es practicamente lo mismo

PD: Algo de lo que me parece confuso en la parte verde es como que la parte verde se volvió a repetir, ya había dicho lo mismo antes...

Gracias

[ani_pascual]

Hola:

... la entiendo bastante la demostración  pero es media confusa
...

Lo de rojo es una errata, debería ser \( a \) en vez de \( x \)
La primera parte está bastante claro; usa el hecho de que \( a \) es punto de acumulación de \( X \) y construye una sucesión en \( X\setminus\{a\} \) que converge a \( a \). La segunda parte, sí parece algo confusa; usando el hecho de que existe una sucesión en \( X\setminus\{a\} \) que converge a \( a \), hay que demostrar que dada una bola reducida cualquiera centrada en \( a \), contiene algún elemento de \( X \).
Por hipótesis, existe una sucesión \( \textcolor{blue}{\{x_n\}} \) en \( X\setminus\{a\} \) que converge a \( a \), luego dado \( \varepsilon>0,  \) existe \( n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0 \) es \( x_n\in B(a,\varepsilon)\Longrightarrow  \textcolor{blue}{B(a,\varepsilon)\cap(X\setminus \{a\})}=(B(a,\varepsilon)-\{a\})\cap X\neq \emptyset  \), luego es \( a \) un punto de acumulación de \( X \)
Editado para mejorar la redacción  
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Lo azul no lo veo tanto, por ser \( a \) punto de acumulacion \( \forall{\epsilon>0,B^*(a,\epsilon)}\cap{X}\neq \emptyset \) y no se de donde sale lo otro, lo que hay un \( e_n<e \)

Pues que (por la propiedad arquimediana de los números reales) dado cualquier número real \( e>0 \) existe un natural \( n \) tal que \( \dfrac{1}{n}<e \) y ese \( 1/n \) es lo que llama \( e_n \).

Lo verde tambien es un poco confuso, pero supongo que usa la definición de límite en el sentido de que hay elementos de X en la bola \( B(a,\epsilon) \) pero como \( X \) le quitaron el elemento \( a \) todos esos elementos de X dentro de la bola son distintos que \( a \) por lo tanto seria parecido a la definición de punto de acumulación, acá la gracia es que la bola de centro a y radio epsilon no es una bola reducida pero como se elimino \( a \) del conjunto X es practicamente lo mismo

PD: Algo de lo que me parece confuso en la parte verde es como que la parte verde se volvió a repetir, ya había dicho lo mismo antes...

Si te parece que repite es porque recapitula, reformula, lo razonado inmediatamente antes. Te dice que dada cualquier bola \( B(a,\epsilon) \) puedes encontrar un elemento \( x_n\neq a \) que está en la bola y pertenece al conjunto (en particular a la sucesión) y por eso \( a \) es punto de acumulación.

Saludos.

[Nub]

Hola

Lo azul no lo veo tanto, por ser \( a \) punto de acumulacion \( \forall{\epsilon>0,B^*(a,\epsilon)}\cap{X}\neq \emptyset \) y no se de donde sale lo otro, lo que hay un \( e_n<e \)

Pues que (por la propiedad arquimediana de los números reales) dado cualquier número real \( e>0 \) existe un natural \( n \) tal que \( \dfrac{1}{n}<e \) y ese \( 1/n \) es lo que llama \( e_n \).

Lo verde tambien es un poco confuso, pero supongo que usa la definición de límite en el sentido de que hay elementos de X en la bola \( B(a,\epsilon) \) pero como \( X \) le quitaron el elemento \( a \) todos esos elementos de X dentro de la bola son distintos que \( a \) por lo tanto seria parecido a la definición de punto de acumulación, acá la gracia es que la bola de centro a y radio epsilon no es una bola reducida pero como se elimino \( a \) del conjunto X es practicamente lo mismo

PD: Algo de lo que me parece confuso en la parte verde es como que la parte verde se volvió a repetir, ya había dicho lo mismo antes...

Si te parece que repite es porque recapitula, reformula, lo razonado inmediatamente antes. Te dice que dada cualquier bola \( B(a,\epsilon) \) puedes encontrar un elemento \( x_n\neq a \) que está en la bola y pertenece al conjunto (en particular a la sucesión) y por eso \( a \) es punto de acumulación.

Saludos.

Otra pregunta en el directo, tengo entendido que construye la sucesión, luego lo otro lo que hace es probar que la sucesion converge a dicho numero? otra que no entiendo es porque \( B(a,\epsilon_n)\subset{B(a,\epsilon)} \) "dibujisticamente"  \( B(a,\epsilon) \) seria mas chica que \( B(a,\epsilon_n) \) o tal vez seria algo así: Para un epsilon\( =\epsilon_n \) existe un \( K \) tal que a partir de ese \( K \) toda la sucesion se mete dentro de la bola \( B(a,\epsilon_n) \) , luego hacemos lo mismo para un epsilon mas chico y toda la sucesion se mete en una nueva bola mas chica, pero eso no implica que los elementos anteriroes se metan dentro de la nueva bola sino que a partir de un cierto \( K' \) se meteran, no todos... por eso no entiendo porque la bola esta incluida

[Luis Fuentes]

Hola

Otra pregunta en el directo, tengo entendido que construye la sucesión, luego lo otro lo que hace es probar que la sucesión converge a dicho número?

Correcto.

otra que no entiendo es porque \( B(a,\epsilon_n)\subset{B(a,\epsilon)} \) "dibujisticamente"  \( B(a,\epsilon) \) seria mas chica que \( B(a,\epsilon_n) \)

Pero eso es inmediato: si tienes dos bolas con el mismo centro y distinto radio \( s<r \) la de menor radio está contenida en la de mayor radio.

\( B(a,s)\subset B(a,r) \)

porque si \( x\in B(a,s) \), \( d(x,a)<s<r \) y por tanto \( x\in B(a,r) \).

o tal vez seria algo así: Para un epsilon\( =\epsilon_n \) existe un \( K \) tal que a partir de ese \( K \) toda la sucesión se mete dentro de la bola \( B(a,\epsilon_n) \) , luego hacemos lo mismo para un epsilon mas chico y toda la sucesión se mete en una nueva bola mas chica, pero eso no implica que los elementos anteriores se metan dentro de la nueva bola sino que a partir de un cierto \( K' \) se meterán, no todos... por eso no entiendo porque la bola esta incluída

No, no es así; o al menos así la explicación es más difusa.

No se cual es el problema. Has construido una sucesión \( \{x_n\} \) que cumple que \( x_n\in B(a,1/n) \) para todo \( n \) y \( x_n\neq a \).

Vamos a probar que converge a \( a \). Dado \( \epsilon>0 \) existe un \( N \) tal que \( 1/N<\epsilon \). Entonces para todo \( n\geq N \), \( 1/n\leq 1/N<\epsilon \) y así:

\( x_n\in B(a,1/n)\subset B(a,\epsilon) \)

Es decir se cumple la definición de \( \{x_n\} \) converge a \( a \).

Saludos.

[Nub]

Ya entendí, gracias a los dos