Hola
Hola, conozco el resultado de este límite, pero no sé su desarrollo. Con im y re me refiero a la parte imaginaria y real.
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x*\displaystyle\frac{im(-1)^{\displaystyle\frac{1}{x}}}{re(-1)^{\displaystyle\frac{1}{x}}}} \)
Haciendo \( t=1/x \) equivale a:
\( \displaystyle\lim_{t\to 0^+}{\displaystyle\frac{im(-1)^{t}}{t\cdot re(-1)^{t}}} \)
\( (-1)^{t}=e^{\pi i t}=cos(\pi t)+i\,sin(\pi t) \)
Por tanto el límite queda:
\( \displaystyle\lim_{t\to 0^+}\displaystyle\frac{sin(\pi t)}{t\cdot cos(\pi t)}=\displaystyle\lim_{t\to 0^+}\displaystyle\frac{sin(\pi t)}{\pi t}\cdot \dfrac{\pi}{cos(\pi t)}=\pi \)
Saludos.
