Hola
Si \( \pi+x=p/q \), para \( x \) un número irracional, sino trascendente -y- \( p/q \) un número racional, donde \( p,q \) son enteros -y- \( (p,q)=1 \).
No se que quiere decir esa coletilla que pones varias veces: "sino trascendente". ¿Quieres decir qué es un número trascendente? ¿o qué es un irracional y quizá sea trascendente o no?. Sea como sea, ¿usas para algo que sea trascendente o no? Desde mi punto de vista no; así que es una coletilla que sólo veo que "hace ruido".
Tendremos que \( x=p/q-\pi \). Ahora bien, \( (p/q)-\pi \) será siempre igual a un \( y\cdot\pi \), basta que \( y=\dfrac{(p/q)-\pi}{\pi}=\dfrac{p/q}{\pi}-1 \); esto es para un \( y \) también irracional sino trascendente. Luego: \( x=y\cdot\pi \).
Como \( \pi+x=p/q \), entonces \( q(\pi+x)=p \). Multiplicando en ambos lados de la igualdad por \( 2i \), tendremos que \( 2iq(\pi+x)=2ip \). De esta manera será que \( e^{2iq(\pi+x)}=e^{2ip} \) -y- \( e^{2iq\pi}\cdot e^{2iqx}=e^{2ip} \) \( \Rightarrow \) \( (e^{i\pi})^{2q}\cdot e^{2iq(y\cdot\pi)}=e^{2ip} \) \( \Rightarrow \) \( {(e^{i\pi})}^{2q}\cdot (e^{i\pi})^{2q\cdot y}=e^{2ip} \). Conocemos la célebre fórmula de Euler que dice que \( e^{i\pi}=-1 \). Luego nos queda la ecuación anterior expresada como: \( (-1)^{2q\cdot y}=e^{2ip} \). En la cual el número \( 2q\cdot y \) es irracional sino trascendente, lo mismo que el número al otro lado de la igualdad: \( e^{2ip} \). No hay contradicción alguna.
¿y...? Hacer un razonamiento sobre una suposición y no llegar a ninguna contradicción no aporta nada. En todo caso que la suposición podría ser cierta o no. No sé para que sirve esta primera parte. Y más aún si donde has puesto \( x \) pones \( e \) todo funciona exactamente igual.
Supongamos ahora que \( \pi+e=p/q \). Operando: \( q(\pi+e)=p \); multiplicando por \( 2i \): \( 2iq(\pi+e)=2ip \); por lo que: \( e^{2iq(\pi+e)}=e^{2ip} \) -y- \( e^{2iq\pi}\cdot e^{2iq\cdot e}=e^{2ip} \) \( \Rightarrow \) \( (e^{i\pi})^{2q}\cdot e^{2iq\cdot e}=e^{2ip} \). Como \( e^{i\pi}=-1 \), entonces: \( e^{2iq\cdot e}=e^{2ip} \) -y- por tanto: \( 2iq\cdot e=2ip \); de donde: \( e=p/q \); lo que sí es una contradicción.
Es falso que \( e^{2ia}=e^{2ib}\quad \Rightarrow{}\quad 2ia=2ib \). Por ejemplo \( e^{2i\pi}=1=e^0 \) pero \( 2i\pi\neq 0 \).
En realidad:
\( e^{2ia}=e^{2ib}\quad \Rightarrow{}\quad 2ia=2ib2+2k\pi i \) para algún \( k \) entero.
Así que en tu caso lo único que deducirías es:
\( 2iqe=2ip+2k\pi i\quad \Rightarrow{}\quad qe=p+k\pi \) para algún \( k \) entero.
que no es otra cosa que la suposición de partida si tomas \( k=-q \).
Y de nuevo en todo lo que haces no influye para nada que \( e \) sea precisamente el número \( e \) y no cualquier otro número irracional. Es decir podrías hacer lo mismo comenzando con \( \pi+x=p/q \) para \( x \) es irracional y según tu habrías probado que lleva a contradicción; pero eso no puede estar bien porque para \( x=p/q-\pi \) (irracional) esa igualdad si es cierta.
Esto último es la misma crítica que hacía a tu anterior intento; y no estoy seguro de que la hayas entendido bien. Porque para intentar salvarla haces un requiebro al principio que realmente no sirve de nada; aparentemente razonas así: es que si \( x=p/q-\pi \) yo puedo hacer unos razonamientos que no llevan a contradicción. Pero como te dije unos razonamientos que no llevan a contradicción no dicen nada, son neutros.
La cuestión es si cuando propongas una demostración para probar que \( \pi+e \) no es irracional, si la aplicas para \( \pi+x \) con \( x \) cualquier otro racional, hay algún paso que no funciona para cualquier irracional pero si precisamente para \( x=e \). Es decir lo que tienes que ver es si los mismos razonamientos (y no otros) que usaste para tu demostración de \( \pi+e \) funcionarían para \( \pi+x \).
Esto es muy parecido al consejo que doy a alguna gente que intentó demostrar el Teorema de Fermat: desde luego si en los argumentos que se hacen no se usa de manera troncal que los números implicados son enteros, la supuesta demostración es imposible que esté bien. Por supuesto aun en el caso de que si que se use el carácter entero de los números... todavía la demostración puede tener mil fallos. Pero al meno esto da un primer criterio rápido para descartar ciertas formas de argumentar.
Aquí, si no usas de manera troncal que el número que sumas a \( \pi \) es precisamente el número \( e \) y no cualquier otro irracional, el razonamiento no puede estar bien.
Saludos.
