[mat]

Dos funciones \( f \) y \( g \) verifican el sistema de ecuaciones \( f(x) + 2 g(1-x) = x^2 \) y \( f(1-x) - g(x) = x^2. \)  ¿Cuál es la función \( f \)?
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[Luis Fuentes]

Hola

Dos funciones \( f \) y \( g \) verifican el sistema de ecuaciones \( f(x) + 2 g(1-x) = x^2 \) y \( f(1-x) - g(x) = x^2. \)  ¿Cuál es la función \( f \)?

Spoiler

De la segunda ecuación, \( f(1-y)-g(y)=y^2 \) tomando \( y=1-x \):

\( f(x)-g(1-x)=(1-x)^2 \)

Multiplicando por \( 2 \) y sumando a la primera:

\( 3f(x)=x^2+2(1-x)^2 \)

De donde:

\( f(x)=\dfrac{1}{3}(3x^2-4x+2) \).

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Saludos.