[Richard R Richard]

Motivado por la proposición a resolver problemas similares, como Disco homogéneo con 2 masas en plano inclinado.
Propongo

Sobre la figura que presento a continuación


Determinar las condiciones necesarias si las hay ,ejemplo el ángulo $$\theta$$ en que se suelta sin velocidad inicial y relación de masas $$m/M$$,para que conjunto de discos unidos por una barra de diámetro despreciable  que ruedan y no deslizan por el plano inclinado,   dado $$0<d<R$$, para que el eje de giro de los discos cumpla en los siguientes casos


a) Descender hasta el final del plano inclinado.
b) Descienda pero logre detenerse en algún punto del plano.
c) Pueda alcanzar algún tipo de equilibrio estable o inestable.
d) Ascienda pero logre detenerse en algún punto del plano.
e) Que tipo de movimiento es esperable luego de las situaciones b y d.

Aclaro por las dudas
La longitud del plano inclinado $$l>>2\pi R$$ , la posición inicial es mayor a $$2\pi R$$ desde el punto mas alto del plano. Es decir no se cae y llega al final sin haber cumplido al menos un giro completo

Aver que sale


Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Aunque con reservas, para que el conjunto llegue al final del plano inclinado, y utilizando el método energético, llego a que

\( d<\dfrac{(m+2M)(2\pi-\theta)R\sin\alpha}{m(1-\cos\theta)} \)

Saludos cordiales,
JCB.

[ani_pascual]

Hola:

...
A ver que sale
...

A mí, me sale un churro  y como no me coincide con el resultado de JCB, seguro que está mal ...

Spoiler

Según las leyes de la Dinámica de traslación y rotación
\( \left\{\begin{array}{l}(2M+m)g\sin\alpha-2F_r=(2M+m)a\\mg\textcolor{red}{d}\sin\theta+2\textcolor{red}{R}F_r=I\dfrac{a}{R}\\I=\dfrac{1}{2MR^2}+\dfrac{1}{2MR^2}+md^2=MR^2+md^2\end{array}\right.\Longrightarrow \cdots\Longrightarrow a=\dfrac{(2M+m)g\sin\alpha+mg\textcolor{red}{d}\sin\theta\textcolor{red}{\cdot \frac{1}{R}}}{2M+m+M+m\dfrac{d^2}{\textcolor{red}{R^2}}} \)
Así, para que el sistema permanezca inmóvil o ruede hacia abajo con velocidad constante, es preciso que \( a=0\Longleftrightarrow \sin\theta=\dfrac{-(2M+m)\textcolor{red}{R}\sin\alpha}{m\textcolor{red}{d}} \) lo cual implica que \( \dfrac{M}{m}=-\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{\textcolor{red}{d}\sin\theta}{\textcolor{red}{R}\sin\alpha}\right) \) con \( -1\leq  \sin\theta <\textcolor{red}{-\dfrac{R\sin\alpha}{d}} \)
Para que ruede hacia abajo con aceleración es necesario que \( \sin\theta>\dfrac{-(2M+m)\textcolor{red}{R}\sin\alpha}{m\textcolor{red}{d}} \) lo cual implica que \( \dfrac{M}{m}>-\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{\textcolor{red}{d}\sin\theta}{\textcolor{red}{R}\sin\alpha}\right) \) pudiendo ser \(  1\geq  \sin\theta >\textcolor{red}{-\dfrac{R\sin\alpha}{d}} \)
y para que ruede hacia arriba se tiene que cumplir \( \sin\theta<\dfrac{-(2M+m)\textcolor{red}{R}\sin\alpha}{\textcolor{red}{d}m} \) y, por tanto, \( \dfrac{M}{m}<-\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{\textcolor{red}{d}\sin\theta}{\textcolor{red}{R}\sin\alpha}\right) \) con \(  -1\leq \sin\theta <\textcolor{red}{-\dfrac{R\sin\alpha}{d}} \)

[cerrar]

He olvidado \( d \) y \( R \) en la ecuación del momento, así es que está mal  
Saludos

[Richard R Richard]

a) La energía mecánica del sistema en el punto inicial tomando como cero de referencia el centro de masa de los disco en el punto mas bajo del descenso es

$$Em=((2\pi-\theta) R \sin\alpha+d\cos \theta)Mg$$

No hay energía cinética y el en punto mas bajo del descenso, la máxima energía potencial será alcanzada con la masa \( m \) sobre la vertical

$$Em=mgd\cos 0=mgd$$

igualando tengo que

$$d=R\sin \alpha \dfrac{2\pi-\theta}{1-cos\theta}\dfrac{2M+m}{m}$$

Como indica JCB , si  $$d$$ es menor a este valor el conjunto rueda plano abajo pues la energía de la subida del brazo $$m$$ es insuficiente para detener el descenso de todo el conjunto, lo que hay que recordar es que d tampoco puede ser superior a $$R$$ , por lo que hay cierto ángulo $$\alpha$$ en la que ninguna relación de masas evita que ruede. Eso sucede a los $$39.5° =\arcsin \frac 2\pi$$

[JCB]

Hola a tod@s.

Para llegar a la expresión de la respuesta # 1, utilicé el siguiente croquis:



La energía potencial gravitatoria correspondiente al momento en que la barra excéntrica se encuentra en el punto más alto (respecto de los discos), debe ser menor a la energía potencial gravitatoria inicial. Debe ser así, porque si ambas energías fuesen iguales, significaría que el conjunto se habría detenido. Dicho de otra manera, en la posición correspondiente al momento en que la barra excéntrica se encuentra en el punto más alto, el conjunto debe disponer de energía cinética.

\( E_{pgi}=mg\left[(2\pi-\theta)R\sin\alpha+d\cos\theta\right]+2Mg(2\pi-\theta)R\sin\alpha \)

\( E_{pgf}=mgd \)

\( E_{pgf}<E_{pgi} \). Despejando \( d \),

\( d<\dfrac{(m+2M)(2\pi-\theta)R\sin\alpha}{m(1-\cos\theta)} \)

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

 Entonces estamos de acuerdo que para que se cumpla b) en primera medida, la condición es


$$\dfrac{(m+2M)(2\pi-\theta)R\sin\alpha}{m(1-\cos\theta)}<d\leq R$$


Saludos

[Richard R Richard]

c) Para que haya un equilibrio inestable por estática con la 2 ley de Newton


$$\displaystyle\sum F_\parallel=0=2Mg\sin\alpha+mg\sin\alpha-F_r$$


y en el punto de apoyo de los discos con el plano



$$\displaystyle\sum M_{apoyo}=0=2MgR\sin\alpha-mg(d\sin(2\pi-\theta)-R\sin\alpha)=0$$


revelando que  es posible hallar 1 o 2 posiciones de equilibrio siempre con relaciones masa 


$$\dfrac{M}{m}=\dfrac{d\sin(2\pi-\theta)-R\sin\alpha}{2R\sin\alpha}$$


$$\dfrac{M}{m}=\dfrac{d\sin(2\pi-\theta)}{2R\sin\alpha}-\dfrac 12$$


esto plantea que si $$d\leq R$$ y en el limite $$d=R$$ entonces debe cumplirse que $$\sin(2\pi-\theta)= -\sin\theta> \sin \alpha \dfrac Rd$$ esto implica que  no siempre es posible hallar una relación de masas de equilibrio. Es decir cuando $$\sin \alpha \dfrac Rd>1$$ osea $$\alpha >\arcsin \dfrac dR$$


Saludos

[Richard R Richard]

d) Se tiene que cumplir que el momento del excéntrico tienda a ascender


$$\dfrac Mm <\dfrac{d\sin(2\pi-\theta)}{2R\sin\alpha}-\dfrac12$$


pero solo ascenderá hasta que se equilibre su energía potencial


$$\dfrac Mm \leq\dfrac{d(1+\cos(2\pi-\theta))}{2R(\theta-\pi)}$$


e) en B y d como en rodadura podemos que el trabajo de la fuerza de rozamiento es nulo, no habrá pérdida de energía , por lo que el oscila entre las posiciones extremas  igual energía potencial, pasando por un intervalo de posiciones de menor energía potencial cuya diferencia con la de los extremos es su energía cinetica puntual.