[mireialili]

Hola estoy estudiando para un examen de algebra lineal y no se como hacer  este apartado de un ejercicio.

Supongamos que $$ V $$  es un espacio vectorial de dimensión finita y  $$ f:V \longrightarrow{}V $$ una aplicación lineal no nula siendo $$ f^2 = 0$$. Demuestra que a $$ f $$ se le puede asociar una matriz de Jordan. Especifica la forma de la matriz. ¿Tiene bloques del tamaño 2?

Supongo que se tendrá que utilizar de alguna manera que si $$ f^2 = 0$$ entonces, $$Kerf^2=V$$, pero aun así no se como resolverlo.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola estoy estudiando para un examen de algebra lineal y no se como hacer  este apartado de un ejercicio.

Supongamos que $$ V $$  es un espacio vectorial de dimensión finita y  $$ f:V \longrightarrow{}V $$ una aplicación lineal no nula siendo $$ f^2 = 0$$. Demuestra que a $$ f $$ se le puede asociar una matriz de Jordan. Especifica la forma de la matriz. ¿Tiene bloques del tamaño 2?

Supongo que se tendrá que utilizar de alguna manera que si $$ f^2 = 0$$ entonces, $$Kerf^2=V$$, pero aun así no se como resolverlo.

Si \( f^2=0 \) su polinomio mínimo divide a \( p(x)=x^2 \) y dado que no es la aplicación nula, su polinomio mínimo es exactamente ese (si fuese \( p(x)=x \) entonces \( f=0 \)).

Como consecuencia de esto su único autovalor es \( \lambda=0 \) y triangulariza.

Además no puede tener cajas de Jordan de tamaño mayor que dos porque en ese caso \( f^2\neq 0 \). Y al menos tiene que tener una caja de Jordan de tamaño exactamente dos (si todas fuesen de tamaño uno, sería la matriz cero y por tanto la aplicación cero).

Saludos.

[mireialili]

Gracias, entiendo lo de los bloques pero no veo porque $$ \lambda=0$$, y lo del polinomio minimo.

[Fernando Revilla]

Demuestra que a $$ f $$ se le puede asociar una matriz de Jordan. Especifica la forma de la matriz. ¿Tiene bloques del tamaño 2?

Como complemento: si la pregunta fuera exclusivamente que a $$ f $$ se le puede asociar una matriz de Jordan, y sin usar polinomio mínimo bastaría demostrar que el único valor propio de \( f \) es \( \lambda=0\in \mathbb{K} \). Si \( \lambda \) es valor propio de \( f \) entonces, existe \( 0\ne v\in V \) tal que \( f(x)=\lambda v \) con lo cual \( f^2(v)=\lambda^2v \) es decir \( 0=\lambda^2v \) y al ser \( v\ne 0 \) se deduce \( \lambda=0 \).

Es decir, el estar todos los valores propios en el cuerpo base \( \mathbb{K} \), asegura la existencia de la forma de Jordan. 

[Fernando Revilla]

Gracias, entiendo lo de los bloques pero no veo porque $$ \lambda=0$$, y lo del polinomio minimo.

En mi anterior mensaje tienes otra forma de demostrar que $$ \lambda=0$$. Por otra parte, si un polinomio \( p(x) \) anula al endomorfismo (en nuestro caso \( p(x)=x^2 \)), el mínimo \( \mu(x) \) divide al anulador i.e. \( \mu(x)=x \) o \( \mu(x)=x^2 \), De aquí se deduce que el único valor propio es \( \lambda=0 \) y de que \( f\ne 0 \), que necesariamente \( \mu(\lambda)=x^2 \).

[mireialili]

Vale, muchas gracias ahora si que lo entiendo!