[mireialili]

Sean $$(V, V, \varphi)$$ y $$(V', V', \varphi')$$ espacios afines.

Supongamos que:
$$f : V \to V'$$
es una aplicación afín y que para algún punto
$$v' \in V',$$
se cumple que:
$$f^{-1}(v') \neq \emptyset.$$

Prueba que:
$$f^{-1}(v') \subset V$$
es un subespacio afín.

¿Alguien me podría ayudar con este ejercicio?

[Luis Fuentes]

Hola

Sean $$(V, V, \varphi)$$ y $$(V', V', \varphi')$$ espacios afines.

Supongamos que:
$$f : V \to V'$$
es una aplicación afín y que para algún punto
$$v' \in V',$$
se cumple que:
$$f^{-1}(v') \neq \emptyset.$$

Prueba que:
$$f^{-1}(v') \subset V$$
es un subespacio afín.

¿Alguien me podría ayudar con este ejercicio?

Los detalles pueden depender un poco de la definiciones y resultados previos que tengas probados.

Sea \( P\in f^{-1}(v') \). Entonces por ser \( f \) aplicación afín, la aplicación \( t:V\to V' \) definida como:

\( t(v)=f(P+v)-f(P) \) es una aplicación lineal y por tanto \( ker(t) \) es un subespacio vectorial.

Entonces veamos que \( f^{-1}(v')=P+ker(t) \) (y por tanto es subvariedad afín).

- Si \( Q\in f^{-1}(v') \) entonces \( f(Q)=v' \) y \( t(Q-P)=f(P+Q-P)-f(P)=f(Q)-f(P)=v'-v'=0 \). Por tanto \( Q-P\in ker(t) \) y \( Q\in P+ker(T) \).

- Si \( v\in ker(t) \) entonces \( t(v)=f(P+v)-f(P)=0 \). Por tanto \( f(P+v)=f(P)=v' \) y \( P+v\in f^{-1}(v') \).

Saludos.

[mireialili]

Muchas gracias!!!!