Hola
Hola,tengo una duda con este ejercicio. Si tengo dos planos proyectivos en el espacio proyectivo de dimension cuatro, pueden estos dos espacios no intersectar?
No. Siempre se intersecan. Dadas \( U,V \) dos variedades proyectivas lineales se cumple que:
\( dim(U\cap V)=dim(U)+dim(V)-dim(U+V) \)
donde si \( U\cap V=\emptyset \), \( dim(U\cap V)=-1 \).
En tu caso como son planos \( dim(U)=dim(V)=2 \) y como estás en el espacio proyectivo de dimensión \( 4 \), \( dim(U+V)\leq 4 \). Por tanto:
\( dim(U\cap V)=dim(U)+dim(V)-dim(U+V)=4-dim(U+V)\geq 4-4=0 \)
Luego al menos se intersecan en una variedad de dimensión cero, es decir, en un punto.
Saludos.
