Hola
En el caso
\( y=\dfrac{\pi}{2}+m\pi \)
Entiendo que el límite del numerador no existe el denominador es constante, y por tanto el límite de la función no existe. ¿Es así?
Más o menos. No es que el denominador sea constante, sino que el límite del denominador si existe y es no nulo. Y por tanto el límite del cociente no existe (si existiese el límite del numerador sería el producto de tal límite por el de el deonimador).
La no existencia del límite del numerador es evidente en los puntos \( (x_0,y_0) \) con \( y_0=\dfrac{\pi}{2}+m\pi \) e \( x_0\neq y_0 \), pero hay que estudiarlo con más cuidado cuando \( x_0=y_0=\dfrac{\pi}{2}+m\pi \), ya que en ese caso:
\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (y_0,y_0)}x^3-y^3=0 \)
\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (y_0,y_0)}|tan(y)|=\infty \)
y el límite del producto sería del tipo \( 0\cdot \infty \): no está determinado sólo con esos datos.
Por comodidad hacemos el cambio \( (s,t)=(x-y_0,y-y_0) \) y se trata de estudiar el límite:
\( \displaystyle\lim_{(s,t)\to (0,0)}((s+y_0)^3-(t+y_0)^3)tan(t+y_0)=\displaystyle\lim_{(s,t)\to (0,0)}((t+y_0)^3-(s+y_0)^3)cotan(t)=\displaystyle\lim_{(s,t)\to(0,0)}(t-s)((t+y_0)^2+(s+y_0)(t+y_0)+(s+y_0)^2)cotan(t) \)
Se tiene que:
\( \displaystyle\lim_{(s,t)\to(0,0)}((t+y_0)^2+(s+y_0)(t+y_0)+(s+y_0)^2)=3y_0^2 \)
así que la cuestión es analizar:
\( \displaystyle\lim_{(s,t)\to(0,0)}(t-s)cotan(t) \)
Si nos acercamos al \( (0,0) \) por las rectas \( (pu,u) \):
\( \displaystyle\lim_{u\to 0}{}(1-p)ucotan(u)=\displaystyle\lim_{u\to 0}{}(1-p)cos(u)\dfrac{u}{sin(u)}=1-p \)
vemos que el límite depende de \( p \) y por tanto no existe.
Saludos.
