[nicolasfb]

¡Buenas noches a todos! Entramos en 2025, sin ninguna duda el año más singular de cuantos vamos a vivir…y, también, de los que hemos vivido…

2025 = 45² es un "año cuadrado perfecto", el único que vamos a vivir nosotros, el anterior fue en 1936 y el siguiente será 2116…

Está representado por el cuadrado de la suma de todos los dígitos del sistema numérico decimal.
(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)² = 2025.

También representa la suma de los cubos de todos los dígitos del sistema numérico decimal.
(0³ + 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³) = 2025

Por tanto, 2025 va a ser un año excepcional.

Estas dos últimas igualdades que he puesto, no son casualidad... Se puede demostrar por el principio de inducción matemática que, para todo \( n\in\mathbb N \) , se cumple

\(
\begin{equation}
(1+2+\ldots+n)^2=1^3+2^3+\ldots+n^3
\end{equation}
 \)

¿Sabrías probarlo?
¡Feliz año 2025!

[delmar]

Hola

Spoiler

Por inducción, para n=1 se cumple.

Para n+1

\( (1+2+...+n+(n+1))^2=((1+2+...+n)+(n+1))^2=(1+2+...+n)^2+2(1+2+...+n)(n+1)+(n+1)^2 \)

En este punto suponiendo verdadero el teorema para n se tiene :

\( (1+2+...+n+(n+1))^2=1^3+2^3+...+n^3+2(1+2+...+n)(n+1)+(n+1)^2= \)

Siguiendo el desarrollo se tiene :

\( (1+2+...+n+(n+1))^2=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)(2(1+2+..+n)+(n+1)) \)

La suma de los n primeros numeros naturales es \( \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \) en consecuencia se tiene :

\( (1+2+...+n+(n+1))^2=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)(2\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}+(n+1))=1^3+2^3+...n^3+(n+1)^3 \)

Lqqd.

[cerrar]

Feliz Año Nuevo, una nueva vuelta al sol.

Saludos

[nicolasfb]

Hola

Spoiler

Por inducción, para n=1 se cumple.

Para n+1

\( (1+2+...+n+(n+1))^2=((1+2+...+n)+(n+1))^2=(1+2+...+n)^2+2(1+2+...+n)(n+1)+(n+1)^2 \)

En este punto suponiendo verdadero el teorema para n se tiene :

\( (1+2+...+n+(n+1))^2=1^3+2^3+...+n^3+2(1+2+...+n)(n+1)+(n+1)^2= \)

Siguiendo el desarrollo se tiene :

\( (1+2+...+n+(n+1))^2=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)(2(1+2+..+n)+(n+1)) \)

La suma de los n primeros numeros naturales es \( \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \) en consecuencia se tiene :

\( (1+2+...+n+(n+1))^2=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)(2\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}+(n+1))=1^3+2^3+...n^3+(n+1)^3 \)

Lqqd.

[cerrar]

Feliz Año Nuevo, una nueva vuelta al sol.

Saludos

 

[RDC]

Otra demostración algo diferente a la de Delmar:

Para empezar tenemos que:

$$[\displaystyle\frac{n^2+n}{^2}]^2-[\displaystyle\frac{(n-1)^2+(n-1)}{^2}]^2=n^3$$

Para demostrarlo basta con desarrollar la primera parte.

De modo que ante la serie:

$$1^2,3^2,6^2,10^2,15^2,21^2,28^2,...$$ tenemos que:

$$1^2-0^2=1^3$$
$$3^2-1^2=2^3$$
$$6^2-3^2=3^3$$
$$10^2-6^2=4^3$$
$$15^2-10^2=5^3$$
$$21^2-15^2=6^3$$
$$28^2-21^2=7^3$$
...

Si tomamos las series $$S,P$$ como:

$$S=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{[\displaystyle\frac{n^2+n}{2}]}=1^2+3^2+6^2+10^2+...$$

$$P=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{n^3}=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+... $$

Entonces se demuestra como:

$$S-S=P$$, puesto que:


\[
\begin{array}{c}
1^2 + 3^2 + 6^2 + 10^2 + 15^2 + \dots \\
+ (-1^2 - 3^2 - 6^2 - 10^2 - \dots) \\
\hline
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + \dots
\end{array}
\]



Un saludo

[RDC]

Otra demostración gráfica sería:

A partir de la serie $$S=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{n}=1+2+3+4+5+...$$ tenemos que:

$$S$$x$$S=[\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{n}]^2=[1+2+3+4+5+...]$$

De modo que $$S$$x$$S=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{n^3}=1^3+2^3+3^3+4^3+...$$

Como $$S$$x$$S$$ representa un cuadrado, entonces se demuestra gráficamente generando, precisamente, un cuadrado con la serie $$S$$, tal que así:




Un saludo