¿Puede ser "analítica en un punto" igual a "diferenciable en ese punto y un entorno suyo"?
Podría entenderse así, depende del contexto. Pero yo nunca he visto esa expresión, por eso lo comentaba.
De todas maneras, si alguien se entretiene en hacer los cálculos y confirmar que no es diferenciable en el entorno de ningún punto, es decir que no es diferenciable para \( z \neq 0 \), lo agradecería.
No es complejo-diferenciable en ningún entorno de ningún punto, ya que
\( \displaystyle{
\begin{align*}
\operatorname{Re}[f(x+iy)]&=(x^2-y^2)\operatorname{sen}((x^2+y^2)^{-1/2})\tag1\\
\operatorname{Im}[f(x+iy)]&=2xy \operatorname{sen}((x^2+y^2)^{-1/2})\tag2
\end{align*}
} \)
Entonces
\( \displaystyle{
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{Re}[f(x+iy)]&=2x \operatorname{sen}((x^2+y^2)^{-1/2})-(x^2-y^2)\cos ((x^2+y^2)^{-1/2})\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\tag3\\
\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{Im}[f(x+iy)]&=2x \operatorname{sen}((x^2+y^2)^{-1/2})-2xy\cos ((x^2+y^2)^{-1/2})\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\tag4
\end{align*}
} \)
Restando (3) de (4) vemos que la expresión resultante se anula únicamente cuando \( \cos (|z|^{-1})=0 \), o cuando \( \operatorname{Re}(z)=0 \), o cuando \( \sqrt{3}|\operatorname{Im}(z)|=|\operatorname{Re}(z)| \). Pero la unión de esos conjuntos, es decir \( \{z\in \mathbb{C}: \cos (|z|^{-1})=0\,\lor\, \operatorname{Re}(z)=0\,\lor\, \sqrt{3}|\operatorname{Im}(z)|=|\operatorname{Re}(z)| \} \), es un conjunto cerrado sin interior, luego no existe ningún conjunto abierto \( U\subset \mathbb{C} \) tal que \( \frac{\partial}{\partial x}\operatorname{Re}f=\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{Im}f \) en todo \( U \).
