[MikelM]

Buenas, estoy estudiando las integrales impropias y haciendo ejercicios he llegado a uno que me pide determinar si una integral impropia es finita o no. La integral es la siguiente:

\( \displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{sen(x)}{1+x} \)

No sé muy bien qué hacer. Como la función oscila entre valores positivos y negativos, no sé cómo aplicar los criterios de comparación (si es que se pueden aplicar). A lo mejor no tiene mucho misterio, pero llevo ya un rato comiéndome la cabeza y no saco nada, así que agradecería si me pudieran ayudar a resolver esta duda.

Gracias de antemano

[ani_pascual]

Hola:

...
No sé muy bien qué hacer. Como la función oscila entre valores positivos y negativos, no sé cómo aplicar los criterios de comparación (si es que se pueden aplicar). A lo mejor no tiene mucho misterio, pero llevo ya un rato comiéndome la cabeza y no saco nada, así que agradecería si me pudieran ayudar a resolver esta duda.
...

Igual te sirve usar que
que la integral impropia \( \displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\,dx=\dfrac{\pi}{2} \)
Saludos

[MikelM]

Hola:

...
No sé muy bien qué hacer. Como la función oscila entre valores positivos y negativos, no sé cómo aplicar los criterios de comparación (si es que se pueden aplicar). A lo mejor no tiene mucho misterio, pero llevo ya un rato comiéndome la cabeza y no saco nada, así que agradecería si me pudieran ayudar a resolver esta duda.
...

Igual te sirve usar que
que la integral impropia \( \displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\,dx=\dfrac{\pi}{2} \)
Saludos

Sí que me sirve, muchas gracias!

[Juan Pablo Sancho]

Puedes usar que:
\( \displaystyle \int_0^x \dfrac{\sen(x)}{1+x} \ dx = \sum_{k=0}^{m-1} \int_{k \cdot \pi}^{(k+1) \cdot \pi} \dfrac{\sen(x)}{1+x} \ dx + \int_{m \cdot \pi}^{x} \dfrac{\sen(x)}{1+x} \ dx  \)
El último término tiende a cero cuando x tiende a \( +\infty \).
Y la suma se puede tranformar \( \displaystyle \int_{k \cdot \pi}^{(k+1) \cdot \pi} \dfrac{|\sen(x)|}{1+x} \ dx = a_k \) queda:
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1} \int_{k \cdot \pi}^{(k+1) \cdot \pi} \dfrac{\sen(x)}{1+x} \ dx = \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k \cdot a_k  \) y usar el criterio de Leibniz.

[MikelM]

Puedes usar que:
\( \displaystyle \int_0^x \dfrac{\sen(x)}{1+x} \ dx = \sum_{k=0}^{m-1} \int_{k \cdot \pi}^{(k+1) \cdot \pi} \dfrac{\sen(x)}{1+x} \ dx + \int_{m \cdot \pi}^{x} \dfrac{\sen(x)}{1+x} \ dx  \)
El último término tiende a cero cuando x tiende a \( +\infty \).
Y la suma se puede tranformar \( \displaystyle \int_{k \cdot \pi}^{(k+1) \cdot \pi} \dfrac{|\sen(x)|}{1+x} \ dx = a_k \) queda:
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1} \int_{k \cdot \pi}^{(k+1) \cdot \pi} \dfrac{\sen(x)}{1+x} \ dx = \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k \cdot a_k  \) y usar el criterio de Leibniz.

Esto ya es un poco complicado para mi nivel, pero gracias por la respuesta! Intentaré echarle un vistazo y entenderlo en cuanto tenga más tiempo.

[Fernando Revilla]

   Aplicando el teorema de la integración por partes con $$u=\dfrac{1}{1+x},\; dv=\sin x\;dx$$, obtenemos
 
        \( \displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{1+x}dx=\left[-\frac{\cos x}{1+x}\right]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}\frac{\cos x}{(1+x)^2}dx\quad (*) \)

Por el mencionado teorema, si dos términos de la igualdad \( (*) \) son convergentes, lo es el tercero y es fácil verificar que los dos sumandos del segundo miembro son convergentes.