Hola
Hola buenas. Primero de todo, gracias por tu respuesta e indicaciones. Debo decir que los enlaces que me pones sobre las reglas y el uso de Látex me aparecen vacíos: al abrirlos sale el error 404 not found, tal vez necesitan actualización. Por otro lado el documento que me adjuntas sobre la teoría de Puiseux es de gran ayuda, gracias.
Gracias por avisar. Ya he corregido los enlaces.
Allí se haría \( f(x,y)=f(x,1\cdot x+y_1)=x^5+y_1^2 \) con \( y=1\cdot x+y_1 \).
¿Por qué tomamos \( y=1\cdot x+y_1 \) si antes poníamos \( y= x \cdot (c_0 + y_1) = x \cdot (1 + y_1) \) ?
Con el enfoque de los apuntes se está buscando una expresión en serie de potencias:
\( y(x)=c_1x^{s_1}+c_2x_{s_2}+c_3x_3^{s_3}+\ldots \)
con los exponentes de \( x \) en orden creciente. Entonces primero se va a calcular el primer monomio \( c_1x^{s_1} \) y lo restante, los términos de mayor grado es lo que llamamos \( y_1 \).
\( y(x)=c_1x^{s_1}+\underbrace{c_2x_{s_2}+c_3x_3^{s_3}+\ldots}_{y_1} \)
Luego se procede recursivamente; se continua hallando \( c_2x^{s_2} \) y a lo restante se le llama \( y_2 \)
\( y_1=c_2x_{s_2}+\underbrace{c_3x_3^{s_3}+\ldots}_{y_2} \)
y así sucesivamente.
Tal como tu lo planteas sospecho que te lo han explicado con una expresión algo así:
\( y(x)=x^{s_1}(c_1+x^{s_2-s_1}(c_2+x^{s_3-(s_2-s_1)}(c_3+\ldots))) \)
y a lo que va llamando \( y_1,y_2 \) es:
\( y_1=x^{s_2-s_1}(c_2+x^{s_3-(s_2-s_1)}(c_3+\ldots)) \)
\( y_2=x^{s_3-(s_2-s_1)}(c_3+\ldots)) \)
o en otras palabras escribir:
\( f(x,y)=c_1x^{s_1}+x^{s_1}f_1(x,y) \)
y aplicar el mismo procedimiento a \( f_1(x,y) \).
de donde fijándose en el término de grado \( 5 \) queda \( c_2^2=-1 \), esto es, \( c_2=i \)
Aquí, ¿por qué nos fijamos en el término de grado 5? ¿Es para poder anular todos los términos que sean posibles? Lo siento si es una pregunta tal vez trivial, me cuesta un poco relacionar la práctica con los teoremas.
La idea es que \( y(x) \) satisfaga la ecuación \( f(x,y(x))=0 \). Una vez sustituido debe de quedar una serie de potencias de \( x \) igualada a cero. Por tanto los coeficientes de esas potencias han de ser nulos; en particular el de \( x^5 \).
Es decir \( y_1=i\cdot x^{5/2}+y^2 \) y:
\( f(x,y)=-2i y_2x^{5/2}+y_2^2=y^2(-2i x^{5/2}+y_2) \)
con lo que \( y_2=0 \) ya es una solución.
Aquí, sería en realidad \( f(x,y_2)=-2i y_2 x^{5/2}+y_2^2=y_2^2(-2i x^{5/2}+y_2) \) , ¿cierto? Es decir, \( y_2 \) en lugar de \( y \)
.
Si. Fue una errata. Pero ojo sería:
\( f(x,y)=-2i y_2 x^{5/2}+y_2^2=y_2(-2i x^{5/2}+y_2) \)
No pongo \( f(x,y_2) \); la función sigue siendo la misma \( f(x,y) \) donde \( y=x+y_1 \), \( y_1=i\cdot x^{5/2}+y_2 \).
Aparte, ¿concluímos que \( y_2 \) es solución porque tanto \( f \) como \( \frac{\partial f}{\partial y_2} \) y \( \frac{\partial^2 f}{\partial y_2^2} \) se anulan en \( (x,y_2) = (0,0) \) o es por otra razón?
No hace falta usar nada de las parciales.
Tengo que:
\( f(x,y)=-2i y_2 x^{5/2}+y_2^2=y_2(-2i x^{5/2}+y_2) \) (*)
donde \( y=x+i\dot x^{5/2}+y_2 \).
\( y_2 \) es como sigue la serie de potencias para que \( y \) satisfaga la ecuación (*) (igualada a cero). Como \( y_2=0 \) es solución de esa ecuación (porque es un factor común), pues tomando \( y_2=0 \) consigo que \( y \) sea la función que busco satisfaciendo la ecuación implícita \( f(x,y)=0 \).
Saludos.
