Vamos a realizar una demostración por reducción al absurdo. Partimos de la hipótesis de que se cumple que la suma de los cubos de dos racionales es el cubo de un racional:
\( \left ( \dfrac{n_1}{d_1}\right )^3+\left ( \dfrac{n_2}{d_2}\right )^3=\left ( \dfrac{n_3}{d_3}\right )^3 \)
En donde \( n_1, d_1, n_2, d_2, n_3, d_3 \) son números enteros
Calculamos común denominador
\( \dfrac{n_1^3 d_2^3 d_3^3}{d_1^3 d_2^3 d_3^3}+\dfrac{n_2^3 d_1^3 d_3^3}{d_1^3 d_2^3 d_3^3}= \dfrac{n_3^3 d_1^3 d_2^3}{d_1^3 d_2^3 d_3^3} \)
Para que se cumpla la igualdad se debe cumplir:
\( n_1^3 d_2^3 d_3^3+n_2^3 d_1^3 d_3^3=n_3^3 d_1^3 d_2^3 \)
Definimos
\( a^3=n_1^3 d_2^3 d_3^3=(n_1 d_2 d_3)^3 \)
\( a=n_1 d_2 d_3 \) que es entero, ya que es el producto de 3 enteros.
\( b^3=n_2^3 d_1^3 d_3^3=(n_2 d_1 d_3)^3 \)
\( b=n_2 d_1 d_3 \) que es entero, ya que es el producto de 3 enteros.
\( c^3=n_3^3 d_1^3 d_2^3=(n_3 d_1 d_2)^3 \)
\( c=n_3 d_1 d_2 \) que es entero, ya que es el producto de 3 enteros.
El resultado es que haciendo operaciones básicas a partir de la hipótesis inicial, hemos llegado a la conclusión de que se debe cumplir con a, b, c enteros:
\( a^3+b^3=c^3 \)
Como el Teorema de Fermat nos dice que esta última igualdad es falsa, ello implica que también ha de ser falsa la hipótesis de partida, que ha sido que la suma de los cubos de dos racionales es el cubo de un racional.
Evidentemente, la demostración es generalizable a cualquier valor entero \( n>2 \), solo hay que partir de la hipótesis inicial:
\( \left ( \dfrac{n_1}{d_1}\right )^n+\left ( \dfrac{n_2}{d_2}\right )^n=\left ( \dfrac{n_3}{d_3}\right )^n \)
Y seguir el mismo procedimiento que hemos usado para n=3
Saludos.
