Hola, estoy leyendo sobre integración en variedades, pero no estoy entendiendo como demuestra la buena definicion de la integral. Estoy leyendo el libro "Lee, introduction to smooth manifolds", para el caso en que \( \omega \) es una \(n \)-forma en \( \mathbb{R}^{n} \) tenemos que \( \omega =fdx_{1} \wedge...\wedge dx_{n} \) entonces define su integral como \( \int_{\mathbb{R}^{n}} \omega =\int_{\mathbb{R}^{n}}f\).
En el libro define más bien \( \int_{\mathbb{R}^n}\omega =\int_{\mathbb{R}^n}f \,d V \), y luego te remite al apéndice C para la definición de \( \int_{\mathbb{R}^n }f\,d V \).
En el caso de estar en una variedad diferenciable \( M\) de dimension \(n\) define la integral sobre un sistema coordenado \( (U,\phi=((x_{1},...,x_{n}) \) usando pull-back, pero entiendo que también se puede definir como \( \int_{M} \omega =\int_{\mathbb{R}^{n}} f \circ{}\phi ^{-1} \).
Esto tampoco está bien, ya que la notación \( \int_{\mathbb{R}^n}f\circ \phi ^{-1} \) no está bien definida. Para definir una integral necesitas una forma diferencial de volumen. Sería más bien
\( \displaystyle{
\int_{M}f\omega =\int_{\phi ^{-1}(M)}\phi ^*(f\omega )=\int_{\phi ^{-1}(M)}\phi ^*f\, \phi ^*\omega\tag1
} \)
asumiendo que \( \omega \) sea una forma diferencial de volumen en \( M \). El pullback en funciones se define como \( \phi ^*f=f\circ \phi ^{-1} \), y el de formas diferenciales es algo más complejo.
Aclaración: en lo anterior la función \( \phi :A\subset \mathbb{R}^n\to M \) es una parametrización local de \( M \), no una carta. Una carta haría lo contrario: mapear desde la variedad hacia un espacio euclidiano.
Pero no entiendo como prueba que esta bien definida dado que al considerar otro sistema coordenado, desarrolla una igualdad usando el teorema de cambio de variables parece, pero no me parece tan obvio. Todavia no se como subir imagenes pero es la pagina 405 del libro de Lee (agradeceria que algun moderador me pueda ayudar con lo de la imagen).
La demostración usa el hecho (demostrado seguramente anteriormente) que el pullback es una operación contravariante, es decir que \( (f\circ g)^*=g^*\circ f^* \), y la definición de la integral dada un momento antes en el libro por
\( \displaystyle{
\int_{M}\omega :=\int_{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^*\omega \tag2
} \)
siendo \( \varphi:U\to \mathbb{R}^n \) una carta positivamente orientada de \( M \) con soporte compacto contenido en \( U \), luego la integral de la derecha de (2) es una integral de Riemann generalizada a espacios euclidianos. Es decir, con la definición (2) y la propiedad contravariante del pullback tienes que la integral es invariante, que es lo que aparece en la página 405. Parafraseando lo que se dice en tal página: supón que \( M \) es una variedad y \( \omega \) una forma de volumen de \( M \) tal que su soporte está contenido en \( U \cap \tilde U \), y tanto \( \varphi :U\to \mathbb{R}^n \) como \( \tilde \varphi :\tilde U\to \mathbb{R}^n \) son cartas positivamente orientadas del atlas de \( M \), entonces
\( \displaystyle{
\begin{align*}
\int_{\tilde \varphi (\tilde U)}(\tilde \varphi ^{-1})^*\omega &=\int_{\tilde \varphi (U\cap \tilde U)}(\tilde \varphi ^{-1})^*\omega \\
&=\int_{\varphi (U\cap \tilde U)}(\tilde \varphi \circ \varphi ^{-1})^*(\tilde \varphi ^{-1})^*\omega \\
&=\int_{\varphi (U\cap \tilde U)}(\varphi ^{-1})^*\omega\\
&=\int_{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^*\omega
\end{align*}
} \)
La primera y última igualdades se siguen del soporte de \( \omega \) asumido, la penúltima de la propiedad contravariante del pullback, y por último la segunda igualdad se sigue de (2), ya que \( \varphi \circ \tilde \varphi ^{-1}:\tilde \varphi (U\cap \tilde U)\to \varphi (U\cap \tilde U) \) es difeomorfismo entre las variedades que son su dominio y codominio (ambos subconjuntos abiertos de \( \mathbb{R}^n \)). No sé si ahora lo ves más claro.
Por último, debido a la partición de la unidad de una variedad diferencial (explicado en temas anteriores) siempre podemos expresar cualquier forma diferencial como suma de formas diferenciales, cada una con soporte compacto.
