[idektoni]

Hola, hace un tiempo descubrí la función \( \varphi \) de Euler y me pareció muy útil una de sus propiedades:

\( \varphi(mn) =\varphi (m)\varphi(n) \),  \( m,n\in \Bbb ℤ \) coprimos

He buscado bastante pero no consigo encontrar una demostración rigurosa, ni siquiera encontré la que hizo el propio Euler. ¿Podría alguien decirme como se demuestra? Cuanto más formal mejor, ya que probablemente necesite demostrarlo en un examen…
Mensaje corregido desde la administración.

[Masacroso]

Hola, hace un tiempo descubrí la función \( \varphi \) de Euler y me pareció muy útil una de sus propiedades:

\( \varphi(mn) =\varphi (m)\varphi(n) \),  \( m,n\in \Bbb ℤ \) coprimos

He buscado bastante pero no consigo encontrar una demostración rigurosa, ni siquiera encontré la que hizo el propio Euler. ¿Podría alguien decirme como se demuestra? Cuanto más formal mejor, ya que probablemente necesite demostrarlo en un examen…

He encontrado esta demostración:

https://www.cimat.mx/~gil/docencia/2010/elementales/euler.pdf

Aquí hay otra demostración, ésta basada en la transformación de Möbius.

Nota: en el segundo enlace parece haber un error tipográfico en la demostración del lema 4.15, debe sustituirse la expresión

\( \displaystyle{
S(d, n) = \{m \in \mathbb{N} | m \le n \mbox{ and } \gcd (md, dn) = 1\}
} \)

por algo como

\( \displaystyle{
S(d, n) = \{m \in \mathbb{N} | m \le \tfrac{n}{d} \mbox{ and } \gcd (m, \tfrac{n}{d}) = 1\}
} \)

[idektoni]

Muchas gracias!