[pablo.chanduj]

               Buena noches estimados: Tengo el siguiente conjunto \( A=\left\{{\displaystyle\frac{m}{n}:m,n\in{Z}\,con\,1\leq{}m\leq{}5},\,y 1\leq{}n\leq{}5\right\} \). En este ejercicio debo encontrar las cotas inf y sup, max y min. Pero solo me quiero detener en el supremo e infimo es para aclarar una duda que tengo. Mi solución es la siguiente:

1. Luego de varios pasos algebraicos llego a lo siguiente: \( \displaystyle\frac{1}{5}\leq{}\displaystyle\frac{m}{n}\leq{}5 \)
2. Axioma del supremo: Para demostrar que 5 es supremo de A es necesario cumplir con las siguientes condiciones:
2.a \( \forall{}x\in{\in{}}A:x<5 \) (lo cual este punto ya estaria demostrado en el punto 1.)
2.b \( \forall{}y>0\exists{}x\in{}A/y<x \)
3. Principio del buen orden: Para demostrar que 1/5 es infimo de A es necesario que se cumplan las siguientes condiciones:
3.a \( \forall{}x\in{\in{}}A:x>1/5 \) (lo cual este punto ya estaria demostrado en el punto 1.)
3.b \( \forall{}y>1/5\exists{}x\in{}A/y>x \)

              Tengo dudas sobre cómo puedo demostrar los puntos 2.b y 3.b. Necesito sugerencias. Aguardo respuestas! gracias!
              PD: Puede ser que el punto 3.b lo tengo que demostrar que la propiedad arquimidiana?

[delmar]

Hola

Algunas precisiones :
punto 2.a \( \forall{x}\in{A}, \ x\leq{5} \) esto significa que 5 es cota superior de A
punto 2.b \( \forall{y}<5, \ \exists{x}\in{A} \ / \ y<x \) esto significa que 5  es la menor cota superior de A. Con estas precisiones, observa que \( 5\in{A}\wedge \displaystyle\frac{1}{5}\in{A} \) entonces es evidente que \( \forall{y}<5, \ \exists{x}\in{A} \ / y<x \) ese x es exactamente el mismo 5, es decir x=5

Con lo anterior creo puedes resolver lo referente al infimo.

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
 Necesito sugerencias. Aguardo respuestas! gracias!
    ...

Como apunta delmar, tanto el ínfimo como el supremo se alcanzan, luego se tratan de mínimo y máximo, \( \dfrac{1}{5}\in A \) y \(  5\in A \) respectivamente.

Saludos