Por pereza voy a calcular la velocidad de caída en función de la distancia y luego haré el límite. Las cuentas son parecidas si se usa el tiempo ( pero pedagógicamente es más sencillo con el cambio de variable )
Tomo origen de coordenadas en el avión y dirección positiva del eje y hacia abajo ( distancia recorrida \( y(t)\geq{0} \)).
Entonces en \( t=0 \) , \( y(0)=0 \) y \( v(0)=v_o \) ( la velocidad inicial no tiene por que ser cero).
\( mg-kv^2=ma=m\displaystyle\frac{dv}{dt} \)
Ahora hacemos el cambio \( \displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{dv}{dy}\displaystyle\frac{dy}{dt} \)
\( \displaystyle\frac{dv}{dt}=v\displaystyle\frac{dv}{dy} \) , sustituyendo en la ecuación diferencial.
\( -(kv^2-mg)=mv\displaystyle\frac{dv}{dy} \) , llamando \( \beta=\displaystyle\frac{k}{m} \) obtenemos
\( -(\beta v^2-g)=v\displaystyle\frac{dv}{dy} \) , \( -dy=\displaystyle\frac{v}{\beta v^2-g}dv \) \( -\displaystyle\int_{0}^{y}dy=\displaystyle\frac{1}{2\beta}\displaystyle\int_{v_o}^{v}\displaystyle\frac{2v'}{ v'^2-\frac g{\beta}}dv' \)
\( -2\beta y=\ln \left |{\displaystyle\frac{v^2-\frac g{\beta}}{v_o^2-\frac g{\beta}}}\right | \) (*)
(*) Ya en esta ecuación se vislumbra el límite ya que el logaritmo solo esta definido para valores positivos del argumento (el límite es cuando el argumento es cero ).
\( e^{-2\beta y}=\displaystyle\frac{v^2-\frac g{\beta}}{v_o^2-\frac g{\beta}} \) , despejando \( v^2 \) queda:
\( v^2=\left({v_o^2-\dfrac g{\beta}}\right)e^{-2\beta y}+\dfrac g{\beta} \)
Es obvio que si \( t\rightarrow{+\infty}\Rightarrow{}y\rightarrow{+\infty} \) , por tanto:
\( \displaystyle\lim_{y \to{+}\infty}{}v^2=\dfrac g{\beta}=\displaystyle\frac{gm}{k} \)
