[Virgmari]

Buenos días! Tengo dudas en un ejercicio de examen. La letra es la siguiente: Sean los espacios topológicos \( (\Bbb R,\tau_{usuall}) \) y \( (\Bbb Z,\tau_{cofinita}) \). Consideremos el espacio \( (E, \tau) \) siendo \( E=\Bbb R\times \Bbb Z \) y \( \tau \) la topología producto.
Investigar la continuidad de la función \( f:(E,\tau)\to (\Bbb R,\tau_{usual}) \) definida como \( f(x,y)=x-y \).

Sé que la definición de la continuidad en topología implica probar que la preimagen de un abierto en \( (\Bbb R,\tau_{usual}) \) es un abierto de \( (E, \tau) \).
¿Me pueden ayudar a entender?

Gracias.
Mensaje corregido desde la administración.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Por ejemplo para obtener:

\( (\Bbb R,\tau_{usual}) \) y \( (\Bbb Z,\tau_{cofinita}) \).

debes de escribir:

[tex](\Bbb R,\tau_{usual})[/tex] y [tex](\Bbb Z,\tau_{cofinita})[/tex].

[AveFenix]

Hola, buenas, ¿lo has intentado?  Fíjate que la clave está en tomar un abierto \( U \subseteq \mathbb{R} \) en \( \tau_\text{usual} \) y calcular su preimagen bajo \( f(x, y) = x - y \).

Cuando tengas esa preimagen, descompónla en términos de \( \mathbb{R} \) y \( \mathbb{Z} \). Vas a obtener una unión de ciertos conjuntos que dependen de \( y \in \mathbb{Z} \).

Luego, usa las propiedades de la topología producto: verifica que cada uno de esos conjuntos sea abierto en \( \tau_\text{producto} \). Recuerda que en esta topología, los abiertos básicos tienen la forma \( U' \times V' \), donde \( U' \) y \( V' \) son abiertos en \( \mathbb{R} \) y \( \mathbb{Z} \), respectivamente. Piensa también en cómo funciona la topología cofinita en \( \mathbb{Z} \).

Esto te ayudará a determinar si la preimagen es un abierto en \( (E, \tau_\text{producto}) \)   

Estaría bueno que compartas lo que has realizado hasta ahora. Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días! Tengo dudas en un ejercicio de examen. La letra es la siguiente: Sean los espacios topológicos \( (\Bbb R,\tau_{usuall}) \) y \( (\Bbb Z,\tau_{cofinita}) \). Consideremos el espacio \( (E, \tau) \) siendo \( E=\Bbb R\times \Bbb Z \) y \( \tau \) la topología producto.
Investigar la continuidad de la función \( f:(E,\tau)\to (\Bbb R,\tau_{usual}) \) definida como \( f(x,y)=x-y \).

Sé que la definición de la continuidad en topología implica probar que la preimagen de un abierto en \( (\Bbb R,\tau_{usual}) \) es un abierto de \( (E, \tau) \).
¿Me pueden ayudar a entender?

Por ampliar un poco más lo dicho por AveFenix. Un ejemplo: si tomas \( (0,1) \) abierto en \(  (\Bbb R,\tau_{usual}) \), tienes que:

\( f^{-1}((0,1))=\{(x;y)\in \Bbb R\times \Bbb Z |x-y\in (0,1)\}=\{(x;y)\in \Bbb R\times \Bbb Z|x\in (y,y+1)\}=\displaystyle\bigcup_{y\in \Bbb Z}(y,y+1)\times \{y\} \)

¿Pero es ese conjunto un abierto?. Comprueba que NO lo es.

Nota que  un entorno del punto \( (1/2;0)\in (E,\tau) \) es de la forma \( (a,b)\times V  \) donde \( 1/2\in a \) y \( V \) el complementario de un conjunto finito.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
¿Me pueden ayudar a entender?

Gracias.

Si no me equivoco ...     igual una imagen vale más que mil palabras. 
Una forma visual de verlo es dibujando la imagen inversa \( G=f^{-1}(]a,b[) \) de un abierto básico arbitrario \( ]a,b[ \) de \( (\mathbb{R},\tau_u) \),

así como un básico básico \( U=]c,d[\times (\mathbb{Z}\setminus F) \) del espacio topológico \( (E,\tau_{prod}) \), donde \( F\subset \mathbb{Z} \) es finito,

y comprobar que hay puntos de \( G \) que no son interiores (de hecho el interior de \( G \) es vacío), ya que es imposible que \( U\subset G \), con lo que \( G \)  no es abierto en \( (E,\tau_{prod}) \).

Saludos