Hola
Hola tengo una duda.
Me piden probar que \( \Gamma \) definida como un haz de cónicas generada por \( xy=0 \) y \( xz-yz=0 \) corta a \( x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2 -2xyz(x+y+z)=0 \) en los puntos \( (1:0:0) \), \( (0:1:0) \), \( (0:0:1) \) y a lo sumo uno más, todo esto en \( \mathbb{P} _{\mathbb{C}} ^1 \). Lo he trabajando con las ecuaciones directamente, pero no he llegado a mucho más que probar que se cortan en \( (1:0:0) \), \( (0:1:0) \), \( (0:0:1) \). Se me ha ocurrido intentar usar el Teorema de Bezout, puesto que sale que se deben cortar en \( 2 \times 4 = 8 \) puntos, y dado que los anteriormente mencionados son dobles, bastaría demostrar que el cuarto es también doble (aunque no sé exactamente cómo se haría). No sé como llegar a probar lo que me piden, ni si hay un método mucho más sencillo que me ayudaría.
En realidad la multiplicidad de intersección de la cuártica con cualquier cónica del haz en \( (0:0:1) \) es tres.
En lo que haré denotaré por \( I(f,g) \) a la multiplicidad de intersección de las curvas \( f,g \) en e ese punto \( (0:0:1) \). Usaré propiedades típicas de tal multiplicidad:
Para la primera cónica generadora:
\( I(xy,x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2 -2xyz(x+y+z))=I(x,x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2 -2xyz(x+y+z))+I(y,x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2 -2xyz(x+y+z)) \)
\( =I(x,y^2z^2)+I(y,x^2z^2)=I(x,y^2)+y(x,z^2)+I(y,x^2)+I(y,z^2)=2+0+2+0=4 \).
Para la segunda cónica generadora:
\( I(xz-yz,x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2 -2xyz(x+y+z))=I(x-y,x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2 -2xyz(x+y+z))+\underbrace{I(z,x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2 -2xyz(x+y+z))}_0 \)
Dado que \( x^2z^2+y^2z^2-2xyz^2=z^2(x-y)^2 \)
\( I(x-y,x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2 -2xyz(x+y+z))=I(x-y,x^2 y^2 -2xyz(x+y))=I(x-y,xy(xy-2xz-2yz))=I(x-y,xy)+I(x-y,xy-2xz-2yz)= \)
\( I(x-y,x)+I(x-y,y)+I(x-y,xy-2xz-2yz)=1+1+1=3 \)
Por tanto cualquier combinación lineal de las cónicas al menos tiene multiplicidad de intersección tres en el orgien con la cuártica.
Saludos.
