Hola
Pongamos por ejemplo. Dada la superficie de ecuación $$r(u,v)=(u,v,u^2\cdot v) $$ hallar el ángulo entre la curva $$v+u=1$$ y $$v-u=1$$.
Lo que yo haría sería usar la definición de producto escalar para hallar el ángulo. Para ello primero construyo las dos curvas y luego derivar, hacer el módulo etc...
$$r_1=(1-v,v,(1-v)^2\cdot v)$$
$$r_2=(v-1,v,(v-1)^2\cdot v)$$
que cortan en cuando $$v=1$$ lo que implicaría que $$u=0$$
$$r_1'=(-1,1,1-4v+3v^2)$$
$$r_2'=(1,1,1-4v+3v^2)$$
$$r_1' \cdot r_2'=(1-4v+3v^2)^2$$ que si evaluamos en $$v=1$$ queda $$r_1' \cdot r_2'=1$$
por otro lado los módulos evaluados en $$v=1$$ son
$$\left\|{r_1'}\right\|=\sqrt[ ]{2}=\left\|{r_2'}\right\|$$
Luego $$cos(\alpha)= \frac{1}{\sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{2}}=\frac{1}{2}$$
¿esto estaría bien? Por otro lado, ¿como haría el mismo ejercicio usando la primera forma fundamental?
Tu planteamiento es correcto. Simplemente por algún sitio te has equivocado en las cuentas. Si \( v=1 \), la tercera componente de ambos vectores marcados en rojo es nula y el producto escalar es cero, como indica
ani_pascual.
Por otra forma la primera forma fundamental no es más que la matriz de Gramm del producto escalar (restricción del usual de \( \Bbb R^3 \) a los planos tangentes a la superficie), respecto de la base formada por los vectores tangentes a las curvas coordenadas \( \{r_u,r_v\} \).
En este caso:
\( r_u=(1,0,2uv) \)
\( r_v=(0,1,u^2) \)
\( r_u\cdot r_u=1+4u^2v^2,\quad r_u\cdot r_v=2u^3v,\quad r_v\cdot r_v=1+\color{blue}u^4\color{black} \)
Si evaluamos en \( (u,v)=(0,1) \) la primera forma fundamental queda:
\( G=\begin{pmatrix}1&0\\0 &1\\\end{pmatrix} \)
Por otra parte trabajando sobre la superficie y en la base indicada, el vector tangente a la curva \( (u,v)=(t,1-t) \) en \( t=0 \) es \( (1,-1) \).
Y el vector tangente a la curva \( (u,v)=(t,1+t) \) en \( t=0 \) es \( (1,1) \).
Su producto escalar sería:
\( (1,1)\cdot G\cdot (1,-1)^t=0 \)
y así son ortogonales.
Saludos.
CORREGIDO (gracias ani_pascual)
