[Akja]

Buenas, ando necesitando ayuda con un problema de momento angular:



Dos cuerpos pequeños, de masa m, están unidos por un alambre rígido, de masa despreciable, al que se ha dado la forma indicada en la figura (imagen adjunta). El sistema puede deslizar libremente sobre una mesa horizontal exenta de rozamientos. Inicialmente, los cuerpos tienen un movimiento de traslación pura con velocidad \[ \vec{v} \]. En un determinado instante el ganchito captura a un tercer cuerpo de masa 2m que estaba en reposo.

Luego en el primer inciso se me pide encontrar la \( v_{cm} \) que me dió \[ \displaystyle\frac{v}{2} \], hasta ahi no hay mucho problema.

Pero luego me pide calcular el momento angular del sistema respecto al centro de masa y las velocidades angulares de cada una de las masas, cosa que se me está dificultando mucho de plantear porque me cuesta mucho trabajar de forma vectorial, asi que cualquier ayuda la agradecería mucho.

Gracias de antemano

[delmar]

Hola

Considerando una referencia absoluta X horizontal (positivo en el sentido de las velocidades iniciales es decir hacia la derecha) y  eje Y vertical positivo hacia arriba. Considerando t=0 el instante en que la barra que une las dos masas atrapa a la tercera masa. Si consideramos como sistema a las 3 masas y la barra no hay fuerzas externas en la dirección X ni en la dirección Y e incluso en la dirección Z (normal a la mesa horizontal ) la resultante externas es cero. Entonces se ha de conservar la cantidad de movimiento del sistema en todas la direcciones durante el proceso de enganche que inicia en t=0 y termina en \( t=\tau \) suponiendo pequeño y que también la posición de la masa (2m) no cambia. El torque externo al sistema también es nulo durante el enganche. Entonces se ha de conservar la cantidad de movimiento angular del sistema, particularmente respecto a la posición de la masa (2m)

Denominando las masas 1, 2 y 3 de arriba para abajo, se tienen dos situaciones :

En t=0, \( m_1=m_2=m, \ \ m_3=2m, \ \ v_1=v_2=v\vec{i}, \ v_3=0 \)

En \( t=\tau, \ \ v'_1=v'_1 \vec{i}, \ v'_2=v'_2\vec{i}, \ v'_3=v'_3\vec{i} \)

En el enunciado hay un error se pide conocer las velocidades de las masas no las angulares, por que estas son las mismas después del enganche, el sistema es  como un sólido rígido.

Considerando la conservación de cantidad movimiento lineal y angular respecto a la dirección X y la posición de la masa 3 respectivamente se tiene :

Conservación cantidad de movimiento lineal durante  \( [0,\tau] \)

\( mv+mv+(2m)0=mv'_1+mv'_2+(2m)v'_3\Rightarrow{v'_1+v'_2+2v'_3=2v} \) Ec 1

Conservación cantidad de movimiento angular durante  \( [0,\tau] \)

\( ((5l/2)\vec{j} \ x \ mv \vec{i})+((3l/2)\vec{j} \ x \ mv\vec{i})=((5l/2)\vec{j} \ x \ mv'_1 \vec{i})+((3l/2)\vec{j} \ x \ mv'_2\vec{i})\Rightarrow{5v'_1+3v'_2=8v} \) Ec 2

En \( t=\tau \) el sistema es semejante a un sólido rígido en consecuencia se ha de cumplir la relación de velocidades entre cualquier par de puntos de un sólido rígido.

\( v'_1\vec{i}=v'_3\vec{i}+w\vec{k} \ x \ (5l/2)\vec{j}\Rightarrow{v'_1=v'_3-w(5l/2)} \)

\( v'_2 \vec{i}=v'_3\vec{i}+w\vec{k} \ x \ (3l/2)\vec{j}\Rightarrow{v'_2=v'_3-w(3l/2)} \)

De estas dos ecuaciones se obtiene la ecuación :

\( 3v'_1-5v'_2+2v'_3=0 \) Ec 3

\(  \)

Ec 1,2 y 3 tienen 3 variables, las velocidades lineales  se pueden encontrar creo este es el problema principal, el centro de masa se puede calcular antes,  con ello la cantidad de movimiento angular respecto a el, esa cantidad de movimiento se conserva es más sencillo.
 
Saludos

[Akja]

Perfecto, me aclaró muchas dudas, muchas gracias! :)

[JCB]

Hola a tod@s.

Establezco un sistema de coordenadas \( XYZ \), con los ejes \( X \) e \( Y \) contenidos en el plano horizontal. En el origen está la masa central, con el eje \( Y \) colineal con la varilla, el eje \( X \) perpendicular a \( Y \), también contenido en el plano horizontal, y por último el eje \( Z \) perpendicular al plano horizontal, con sentido positivo hacia arriba.

1) Conservación de la cantidad de movimiento (supongo que habrás aplicado este principio para determinar la velocidad del cdm después del choque). Como se trata de un choque inelástico, ya que la masa \( 2m \) queda enganchada a la varilla, en el eje \( X \), tenemos lo siguiente:

\( mv+mv+\cancelto{0}{2m0}=4mv_{cdm} \)

\( v_{cdm}=\dfrac{v}{2} \), vectorialmente \( \vec{v_{cdm}}=\dfrac{v}{2}\hat\imath \)

2) Conservación del momento angular. Primero determino la posición del cdm,

\( y_{cdm}=\dfrac{ml+\cancelto{0}{m0}+2m\left(-\dfrac{3}{2}l\right)}{4m}=-\dfrac{l}{2} \)

Momento angular justo antes del impacto (respecto del cdm),
\( \vec{L_i}=\dfrac{3}{2}l\hat\jmath\times mv\hat\imath+\dfrac{1}{2}l\hat\jmath\times mv\hat\imath=-2lmv\hat k \)

Momento angular justo después del impacto (respecto del cdm),
\( \vec{L_f}=I\vec{\omega}=\left(m\left(\dfrac{3}{2}l\right)^2+m\left(\dfrac{1}{2}l\right)^2+2ml^2\right)\vec{\omega} \)

Igualando y despejando, resulta \( \vec{\omega}=-\dfrac{4v}{9l}\hat k \)

Para determinar la velocidad lineal de cada masa (después del impacto), aplicaría

\( \vec{v}=\vec{v_{cdm}}+\vec{\omega}\times\vec{r} \)

Saludos cordiales,
JCB.