[krazz]

Hola,

Me podrían ayudar con el siguiente enunciado, el cual es:

Sean \( X\subset{\mathbb{R}} \), \( \mathbb{M}(X) \), la clase de conjuntos Lebesgue medibles en \( X \), \( 1\leq{p}\leq{q}<r<\infty \).

Mostrar que \( L^p\cap{L^r}\subset{L^q} \) y \( ||f||_{L^q}\leq{||f||_{L^p}^{\alpha}}||f||_{L^r}^{1-\alpha} \), donde \( \alpha \in{(0, 1)}, \alpha = \frac{q^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-r^{-1}} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Me podrían ayudar con el siguiente enunciado, el cual es:

Sean \( X\subset{\mathbb{R}} \), \( \mathbb{M}(X) \), la clase de conjuntos Lebesgue medibles en \( X \), \( 1\leq{p}\leq{q}<r<\infty \).

Mostrar que \( L^p\cap{L^r}\subset{L^q} \) y \( ||f||_{L^q}\leq{||f||_{L^p}^{\alpha}}||f||_{L^r}^{1-\alpha} \), donde \( \alpha \in{(0, 1)}, \alpha = \frac{q^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-r^{-1}} \)

Usa la desigulad de Hölder:

\( \|fg\|_1\leq \|f\|_s\|g\|_{t} \) si \( \dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{t}=1 \)

Para:

\( s=\dfrac{p}{\alpha q},\qquad t=\dfrac{r}{(1-\alpha)q} \)

Ten en cuenta que:

\( 1=\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{t}=\dfrac{\alpha q}{p}+\dfrac{(1-\alpha)q}{r}\quad \Leftrightarrow{}\quad q^{-1}=\alpha p^{-1}+(1-\alpha)r^{-1} \)

 si despeja \( \alpha \) puedes ver que equivale a la condición dada  \( \alpha = \dfrac{q^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-r^{-1}} \).

 Entonces:

\( (\|f\|_q)^q=\|f^q\|_1=\|f^{\alpha q}\cdot f^{(1-\alpha)q}\|_1\leq  \|f^{\alpha q}\|_s\|f^{(1-\alpha)q}\|_{t} \ldots \)

 Continúa...

Saludos.