[carlosgv]

Buenas tardes, estoy intentando probar que una aplicación de conjuntos \( f:X\longrightarrow{Y} \) es continua \( \Leftrightarrow{f(\bar{A})\subseteq{\overline{f(A)}}} \) para todo subconjunto \( A\subseteq{X} \)

Tengo la implicación directa, pero me he atascado con la inversa. Espero que alguien me pueda echar una mano.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tardes, estoy intentando probar que una aplicación de conjuntos \( f:X\longrightarrow{Y} \) es continua \( \Leftrightarrow{f(\bar{A})\subseteq{\overline{f(A)}}} \) para todo subconjunto \( A\subseteq{X} \)

Tengo la implicación directa, pero me he atascado con la inversa. Espero que alguien me pueda echar una mano.

Esto ya lo habías preguntado aquí (para funciones en \( \Bbb R^n \)) y te habíamos respondido.

Para el recíproco suponiendo  que \( {f(\bar{A})\subseteq{\overline{f(A)}}} \) para todo subconjunto \( A\subseteq{X} \) tienes que demostrar que \( f \) es continua.

Eso equivale a ver que para todo \( F\subset Y \) cerrado entonces \( f^{-1}(F) \) es cerrado en \( X \).

Aplicando la hipótesis para \( A=f^{-1}(F) \) tenemos que:

\( f(\bar A)\subset \overline{f(A)}=\color{red}\overline{F\cap Im(f)}\subset \bar F=F\color{red} \) (la última igualdad por ser \( F \) cerrado)

es decir:

\( \bar A\subset f^{-1}(F)=A \)

y por tanto \( A \) es cerrado.

Saludos.

CORREGIDO

[carlosgv]

¿Cómo se llega a que \( \overline{f(f^{-1}(F))}=\overline{F\cap{Y}} \)?

[Luis Fuentes]

Hola

¿Cómo se llega a que \( \overline{f(f^{-1}(F))}=\overline{F\cap{Y}} \)?

Perdona. Lo puse mal. Es:

\( f(f^{-1}(F))=F\cap Im(f) \)

Luego mira el mensaje anterior corregido.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

¿Cómo se llega a que \( \overline{f(f^{-1}(F))}=\overline{F\cap{Y}} \)?

Hay que probar que \( \overline{f^{-1}(F)}\subseteq f^{-1}(F) \).
\(  f(f^{-1}(F))\subseteq F\Longrightarrow \overline{f(f^{-1}(F))}\subseteq \overline{F}=F \).
Por tanto, \( f(\overline{f^{-1}(F)})\subseteq \overline{f(f^{-1}(F))}\subseteq \overline{F}=F \) luego \( \overline{f^{-1}(F)}\subseteq f^{-1}(f(\overline{f^{-1}(F)}))\subset f^{-1}(F) \)
Saludos

[carlosgv]

Tampoco sé cómo se concluye que \( \overline{A}\subseteq{f^{-1}(F)} \). ¿No es necesario para llegar a esto que \( f^{-1}(f(\overline{A}))=\overline{A} \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Tampoco sé cómo se concluye que \( \overline{A}\subseteq{f^{-1}(F)} \). ¿No es necesario para llegar a esto que \( f^{-1}(f(\overline{A}))=\overline{A} \)?

Aquí:

Aplicando la hipótesis para \( A=f^{-1}(F) \) tenemos que:

\( f(\bar A)\subset \overline{f(A)}=\color{red}\overline{F\cap Im(f)}\subset \bar F=F\color{red} \) (la última igualdad por ser \( F \) cerrado)

hemos probado que \( f(\bar A)\subset F \) (*). ¿De acuerdo?.

Eso directamente implica que:

\( \bar A\subset f^{-1}(F) \)

ya que si \( a\in \bar A \) entonces por (*)  \( f(a)\in F \) y por tanto \( a\in f^{-1}(F) \).

Saludos.

[carlosgv]

Gracias, ya está todo claro.

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Tampoco sé cómo se concluye que \( \overline{A}\subseteq{f^{-1}(F)} \). ¿No es necesario para llegar a esto que \( f^{-1}(f(\overline{A}))=\overline{A} \)?

Reeepetimos...
\( f(A)\subseteq F\Longrightarrow \overline{f(A)}\subseteq \overline{F}=F \)
Como es \( f(\overline{A})\subseteq \overline{f(A)}\subseteq F \), se tiene que \(
\overline{A}\subseteq f^{-1}(f(\overline{A}))\subseteq f^{-1}(F)=A \)
Saludos