[Chorite]

Hola, tengo que probar las propiedades de antisimetria y transitividad en los siguientes ejercicios sobre el conjunto de todos los reales. Quisiera si me pudieran indicar si es correcto mi procedimiento y a plantear el ultimo caso de transitividad:

A) \( x+y=0 \)

Antisimetria:
\[ x+y=0 \wedge \] \[ y+x=0 \] \[ \Rightarrow{x=y} \]

Falso, no es antisimetrica. Si bien la primera parte de la implicación se cumple, esto no implica que x=y. Podría darse el caso que x=1 e y=-1

Transitividad
\[ x+y=0 \] \[ \wedge \] \[ y+z=0 \] \[ \Rightarrow{x+z=0} \]

Falso, no es transitiva. Si x=1, y=-1, z=1 vemos que \[ x+z\neq0 \]. Por lo tanto no se cumple la propiedad.

B) \( x=\pm{y} \)

Antisimetria.
\[ x=\pm{y} \wedge \] \[ y=\pm{x} \] \[ \Rightarrow{x=y} \]
Es antisimetrica.

Transitividad. no se bien como plantearlo para el caso B, me marea el signo "\pm{}". Me dan una mano con eso?

[Eren]

Hola.

Supongamos que \( x = \pm y \) y que \( y = \pm z \). Entonces \( x = \pm y = \pm (\pm z) = \pm z \), donde la simplificación de dos "\( \pm \)" a uno solo se comprueba fácilmente considerando de forma aislada cada signo, luego la relación es transitiva.

Saludos.

[Eren]

Por cierto, no es cierto que la relación B) sea antisimétrica, sino que es simétrica. La cuestión es que \( x = \pm y \) significa que \( x = y \) o \( x = -y \). En el primer caso está claro que \( x\mathrm{R} y \) implica \( y\mathrm{R} x \). En el segundo caso, \( x = -y \) implica que \( y = -x \), luego en ese caso también \( x\mathrm{R} y \) implica \( y\mathrm{R} x \).

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Hola, tengo que probar las propiedades de antisimetria y simetria en los siguientes ejercicios sobre el conjunto de todos los reales. Quisiera si me pudieran indicar si es correcto mi procedimiento y a plantear el ultimo caso de transitividad:

A) \( x+y=0 \)

Antisimetria:
\[ x+y=0 \wedge \] \[ y+x=0 \] \[ \Rightarrow{x=y} \]

Usa contrarrecíproco

[Chorite]

Hola, tengo que probar las propiedades de antisimetria y simetria en los siguientes ejercicios sobre el conjunto de todos los reales. Quisiera si me pudieran indicar si es correcto mi procedimiento y a plantear el ultimo caso de transitividad:

A) \( x+y=0 \)

Antisimetria:
\[ x+y=0 \wedge \] \[ y+x=0 \] \[ \Rightarrow{x=y} \]

Usa contrarrecíproco

Hola, pero justamente por eso aclaro que "Podría darse el caso que x=1 e y=-1", que me queda asi:

\( 1+(-1)=0 \wedge (-1)+1=0\Rightarrow{1\neq-1}  \)

Pero no estoy seguro si esta bien ese razonamiento, quizas me estoy equivocando en algo.

[Juan Pablo Sancho]

 
Toda la razón del mundo.

[ani_pascual]

Hola:

Quisiera si me pudieran indicar si es correcto mi procedimiento y a plantear el ultimo caso de transitividad:
...
para el caso B, me marea el signo "\pm{}". Me dan una mano con eso?

Como complemento a lo que escribe Eren, creo que B) NO es antisimétrica, ya que si
\( x=\pm y \wedge y=\pm x \) entonces en caso de ser \(  x=-y\Longleftrightarrow y=-x \), no necesariamente es \( x=y \), por ejemplo, \( x=1,y=-1 \). Se tiene \( x=\pm y\wedge y=\pm x \) pero \( x\neq y \)
Saludos