[pablo.chanduj]

           Buenas tardes estimados: Tengo que demostrar lo siguiente: \( (a^m)^n=a^{mn} \) (el primer termino es potencia de potencia)
           Mi planteo es el siguiente:
1. Se demuestra con m fijo y n=0.
2. Se demuestra con m=0 y n fijo.
3. \( (a^m)^k=a^{mk} \) con n=k. k natural
4. \( (a^m)^{k+1}=a^{m(k+1)} \)
5. \( (a^m)^{k+1}=(a^m)^k\,a^m=a^{mk}\,a^m=a^{(mk+m)}=a^{m(k+1)} \)

           Es correcto lo que hice? aguardo respuestas! gracias a todos!

[ani_pascual]

Hola:

           Buenas tardes estimados: Tengo que demostrar lo siguiente: \( (a^m)^n=a^{mn} \) (el primer termino es potencia de potencia)
           Mi planteo es el siguiente:
1. Se demuestra con m fijo y n=0.
2. Se demuestra con m=0 y n fijo.
3. \( (a^m)^k=a^{mk} \) con n=k. k natural
4. \( (a^m)^{k+1}=a^{m(k+1)} \)
5. \( (a^m)^{k+1}=(a^m)^k\,a^m=a^{mk}\,a^m=a^{(mk+m)}=a^{m(k+1)} \)

           Es correcto lo que hice? aguardo respuestas! gracias a todos!

Lo haría por inducción, como hizo Luis Fuentes en el caso \( a^ma^n=a^{m+n} \).
Dado \( m \) fijo, por definición es\( (a^m)^1=a^m=a^{m\cdot 1} \).
Suponiendo que para \( 1<p\leq k \) se cumple \( (a^m)^p=a^{m\cdot p} \) entonces \( (a^m)^{k+1}=(a^m)^k\cdot (a^m)^1=a^{m\cdot k}\cdot a^m=a^{m\cdot k+m}=a^{m(k+1)} \)
Saludos

[manooooh]

Hola

Lo haría por inducción, como hizo Luis Fuentes en el caso \( a^ma^n=a^{m+n} \).
Dado \( m \) fijo, por definición es\( (a^m)^1=a^m=a^{m\cdot 1} \).
Suponiendo que para \( 1<p\leq k \) se cumple \( (a^m)^p=a^{m\cdot p} \) entonces \( (a^m)^{k+1}=(a^m)^k\cdot (a^m)^1=a^{m\cdot k}\cdot a^m=a^{m\cdot k+m}=a^{m(k+1)} \)

¿No habría que considerar el caso \( n \) fijo?

En general: dada una propiedad \( P(n,m) \) definida en los naturales al cuadrado, ¿para demostrar el PIC no hay que usar inducción sobre \( n \) y luego \( m \) (o al revés)?

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

¿No habría que considerar el caso \( n \) fijo?

En general: dada una propiedad \( P(n,m) \) definida en los naturales al cuadrado, ¿para demostrar el PIC no hay que usar inducción sobre \( n \) y luego \( m \) (o al revés)?

...

Segutamente, sí 
A ver así...
Dado \( n \) fijo, se tiene \( (a^1)^n=a^n=a^{1\cdot n} \).
Suponiendo que para \( 1<p\leq k \) se cumple \( (a^p)^n=a^{p\cdot n} \) entonces \( (a^{k+1})^n=(a^k\cdot a^1)^n=(a^k)^n\cdot (a^1)^n= a^{k\cdot n}\cdot a^n=a^{k\cdot n+n}=a^{(k+1)\cdot n} \)
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Pero tienes que \( a^{m+1} = a^m \cdot a  \) esto es cierto para todo \( m\in \mathbb{N}  \),podemos tomar \( m \) cualquier natural,no hace falta casos , nos pone el caso base para \( n \)  a vista de pájaro.
Como te indicaron: (\( S = a^m \))
\( (a^m)^{n+1} = S^{n+1} =  \) caso base \(  =  S^n \cdot S = (a^m)^n \cdot a^m =  \) H.I \(  = a^{mn} \cdot a^m = a^{mn+m} = a^{m \cdot (n+1)}  \)