[Chorite]

Hola de nuevo,

Tengo el siguiente ejercicio con módulos, agradecería mucho si me dieran una mano para arrancar porque la realidad es que desde el vamos no se me ocurre como:

\[ \left |{(x^2+4x+9)+ (2x-3)}\right |= \left |{x^2+4x+9}\right | + \left |{2x-3}\right |  \]

[zorropardo]

Hola, lo resolveria asi:  Sea $$m=x^2+4x+9$$ y $$n=2x-3$$  sustituyendo y elevando al cuadrado tenemos,

$$|m+n|^2=(|m|+|n|)^2 \Rightarrow{     |m|^2+|n|^2+2mn = |m|^2+|n|^2 +2 |m||n|         } \Rightarrow{  2mn= 2|m||n|} \Rightarrow{ mn=mn  \vee  mn=-mn} $$
 
Asi: $$mn=0 \Rightarrow{ m=0  \vee  n=0}.$$ Por tanto $$x^2+4x+9=0   \vee   2x-3=0.$$

[Fernando Revilla]

Tengo el siguiente ejercicio con módulos, agradecería mucho si me dieran una mano para arrancar porque la realidad es que desde el vamos no se me ocurre como: \[ \left |{(x^2+4x+9)+ (2x-3)}\right |= \left |{x^2+4x+9}\right | + \left |{2x-3}\right |  \]

Ten en cuenta que el valor absoluto de una suma es igual a la suma de los valores absolutos si, y sólo si ambos sumandos son \( \ge 0 \) o ambos \( \le 0 \). En nuestro caso, \( x^2+4x+9=(x+2)^2+5\ge 0 \) para todo \( x \) luego se ha de verificar \( 2x-3\ge 0 \) o bien \( x\ge 3/2 \).

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, lo resolveria asi:  Sea $$m=x^2+4x+9$$ y $$n=2x-3$$  sustituyendo y elevando al cuadrado tenemos,

$$|m+n|^2=(|m|+|n|)^2 \Rightarrow{     |m|^2+|n|^2+2mn = |m|^2+|n|^2 +2 |m||n|         } \Rightarrow{  2mn= 2|m||n|} \Rightarrow{ mn=mn  \vee  mn=-mn} $$
 
Asi: $$mn=0 \Rightarrow{ m=0  \vee  n=0}.$$ Por tanto $$x^2+4x+9=0   \vee   2x-3=0.$$

En ese razonamiento olvidas que de \( mn=|m||n| \) se llega a \( mn=mn \) (ecuación que se cumple siempre), cuando \( signo(m)=signo(n) \), que es lo que tienes que analizar como acaba de indicar Fernando Revilla.

Saludos.