Hola
Buenas noches estimados: Tengo que demostrar la siguiente propiedad de exponente: \( a^ma^n=a^{m+n} \) con m y n enteros
1. Hice la demostración con m fijo y n=0.
2. Hice la demostración con m=0 y n fijo.
3. Ahora tengo que demostrar por inducción: \( a^ma^{k+1}=a^{m+k+1} \)
4. \( a^ma^{k+1}=a^{m+k+1-k-1}a^{k+1}=\color{red}a^{m+(k+1)-(k+1)}a^{k+1}=a^{m+(k+1)}a^{-(k+1)+(k+1)}\color{black}=a^{m+(k+1)} \)
Es correcto lo que hice? Saludos cordiales!
No está bien. No está justificado de donde sale la igualdad en rojo. Usas algo así como \( a^{x-y}a^{z}=a^{x}a^{z-y} \). Pero esa propiedad no está demostrada en ningún sitio.
Por inducción (para naturales) podrías hacer algo así. Consideramos la propiedad:
\( P(n) \): \( a^{m+n}=a^ma^n \) para todo \( m\in \Bbb N \)
La probamos por inducción. Para \( n=1 \) es:
\( P(1) \): \( a^{m+1}=a^ma^1=a^m\cdot a \) para todo \( m\in \Bbb N \)
y es cierta por definición (la potencia se define recursivamente como \( a^{n+1}=a^n\cdot a \)).
Suponemos cierto \( P(n) \) y probamos \( P(n+1) \):
\( a^{m+n+1}=a^{m+1+n}=a^{m+1}a^n \) (hemos usado \( P(n) \))
\( a^{m+1}a^n=a^m\cdot a\cdot a^n=a^m a^{n+1} \) (hemos usado \( P(1) \) dos veces).
Completa la demostración para \( m,n \) posiblemente negativos usando que \( a^{-n}=(a^{-1})^n \) (para \( a\neq 0 \)).
Saludos.
