[pablo.chanduj]

                Buena jornada estimados: Tengo el siguiente ejercicio: Probar que \( \displaystyle\frac{4}{11}\leq{}\displaystyle\frac{x²+x+1}{x^4+1}\leq{}\displaystyle\frac{5}{2} \) si \( 1\leq{}x\leq{}2 \). Me pueden dar una pista para poder resolver el ejercicio? graciasy saludos!

[manooooh]

Hola

                Buena jornada estimados: Tengo el siguiente ejercicio: Probar que \( \displaystyle\frac{4}{11}\leq{}\displaystyle\frac{x²+x+1}{x^4+1}\leq{}\displaystyle\frac{5}{2} \) si \( 1\leq{}x\leq{}2 \). Me pueden dar una pista para poder resolver el ejercicio? graciasy saludos!

Conviene que muestres lo que has intentado, para saber en qué podemos ayudarte.

Doy mi intento pero no logro llegar al resultado:

\begin{align*}
1\leq x\leq2&\to1\leq x^2\leq4\land1\leq x^4\leq16\to1\leq x^2\leq4\land2\leq x^4+1\leq17\\
&\to2\leq x^2+x\leq6\\
&\to3\leq x^2+x+1\leq7\\
&\to\frac32\geq\frac{x^2+x+1}{x^4+1}\geq\frac7{17}\\
&\to\frac4{11}\leq\frac7{17}\leq\frac{x^2+x+1}{x^4+1}\leq\frac32
\end{align*}

A partir de ahí no sé cómo proseguir puesto que \( 3/2>5/2 \). Si alguien puede ayudarme estaría agradecido.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

                Buena jornada estimados: Tengo el siguiente ejercicio: Probar que \( \displaystyle\frac{4}{11}\leq{}\displaystyle\frac{x^2+x+1}{x^4+1}\leq{}\displaystyle\frac{5}{2} \) si \( 1\leq{}x\leq{}2 \). Me pueden dar una pista para poder resolver el ejercicio? graciasy saludos!

La forma más sistemática sería calcular los máximos y mínimos del cociente \( \displaystyle\frac{x^2+x+1}{x^4+1}
 \) en el intervalo \( [1,2] \) viendo si tiene algún punto de anulación de la derivada y analizando el valor en los extremos del intervalo. Pero las cuentas no son cómodas.

Afinando un poco menos:

\( \dfrac{x^2+x+1}{x^4+1}=\dfrac{x^2}{x^4+1}+\dfrac{x+1}{x^4+1}\leq \dfrac{x^2}{x^4}+\dfrac{x+1}{x^4+1}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x+1}{x^4+1}\leq \dfrac{1}{1}+\dfrac{2+1}{1+1}=1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2} \)

Me falta la otra parte.

Doy mi intento pero no logro llegar al resultado:

\begin{align*}
1\leq x\leq2&\to1\leq x^2\leq4\land1\leq x^4\leq16\to1\leq x^2\leq4\land2\leq x^4+1\leq17\\
&\to2\leq x^2+x\leq6\\
&\to3\leq x^2+x+1\leq7\\
&\to\frac32\geq\frac{x^2+x+1}{x^4+1}\geq\frac7{17}\\
&\to\frac4{11}\leq\frac7{17}\leq\frac{x^2+x+1}{x^4+1}\leq\frac32
\end{align*}

A partir de ahí no sé cómo proseguir puesto que \( 3/2>5/2 \). Si alguien puede ayudarme estaría agradecido.

Pero no está bien.

De \( x^2+x+1\leq 7 \) y \( x^4+1\leq17 \) no se deduce que el cociente cumpla \( \dfrac{x^2+x+1}{x^4+1}\geq \dfrac{7}{17} \). Lo mismo con la otra desigualdad.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Para la otra parte se me ocurre que:

\(  \dfrac{x^4+1}{x^2+x+1}=x^2-x+\dfrac{x+1}{x^2+x+1}=x^2-x+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}=x(x-1)+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}\leq 2(2-1)+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+1}}=2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{4} \)

 y tomando inversas:

\( \dfrac{x^2+x+1}{x^4+1}\geq \dfrac{4}{11} \)

Saludos.