[Chorite]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:
sea \[ f: R \rightarrow{R}  \] definida por \( f(x)=x^2 \). Hallar la preimagen asociada al intervalo [-1,1], es decir: \( f^{-1} ([-1,1])  \).

Tengan en cuenta que en mi curso utilizamos la expresión \( f^{-1} (x) \) para referirnos a la preimagen y no para hablar de función inversa.

En mi guía de ejercicios figura que la respuesta es \( [-1,1] \), pero verdaderamente no lo entiendo y quisiera que me den una mano para comprender mejor la respuesta. Muchas gracias

[ani_pascual]

Hola:

Hola, tengo el siguiente ejercicio:
sea \[ f: R \rightarrow{R}  \] definida por \( f(x)=x^2 \). Hallar la preimagen asociada al intervalo [-1,1], es decir: \( f^{-1}  ([-1,1])  \).
...

En mi guía de ejercicios figura que la respuesta es \( [-1,1] \), pero verdaderamente no lo entiendo y quisiera que me den una mano para comprender mejor la respuesta.
...

Supongo que la preimagen \( f^{-1} ([-1,1])=\{x\in \mathbb{R}\,|\,f(x)\in [-1,1]\}=[-1,1] \) ya que \( \forall\, x\in [-1,1], f(x)=x^2\in [0,1]\subset [-1,1] \)
luego \( [-1,1]\subset f^{-1} ([-1,1]) \) y recíprocamente si \( x\in f^{-1} ([-1,1]) \) entonces \( f(x)=x^2\in [-1,1] \) luego \( x\in [-1,1] \) y así \( f^{-1} ([-1,1])\subset [-1,1] \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Por ampliar un poco más la respuesta:

\( f^{-1}([-1,1])=\{x\in\Bbb R| f(x)\in [-1,1]\}=\{x\in \Bbb R|x^2\in [-1,1]\}=\{x\in \Bbb R|-1\leq x^2\leq 1\} \)

 Es decir al final se trata de resolver el sistema de inecuaciones:

\( -1\leq x^2 \) (1)
\( x^2\leq 1 \) (2)

 Pero (1) se cumple siempre, porque el cuadrado de un número siempre es no negativo.

 En cuanto a (2) se tiene que \( a^2\leq b^2\quad \Leftrightarrow{ }\quad |a|\leq |b| \), por tanto:

\( x^2\leq 1\quad \Leftrightarrow{ }\quad |x|\leq 1\quad \Leftrightarrow{ }\quad -1\leq x\leq 1 \)

 Es decir:

\( f^{-1}([-1,1])=\{x\in\Bbb R| -1\leq x\leq 1\}=[-1,1] \)

Saludos.

[Chorite]

Hola

 Por ampliar un poco más la respuesta:

\( f^{-1}([-1,1])=\{x\in\Bbb R| f(x)\in [-1,1]\}=\{x\in \Bbb R|x^2\in [-1,1]\}=\{x\in \Bbb R|-1\leq x^2\leq 1\} \)

 Es decir al final se trata de resolver el sistema de inecuaciones:

\( -1\leq x^2 \) (1)
\( x^2\leq 1 \) (2)

 Pero (1) se cumple siempre, porque el cuadrado de un número siempre es no negativo.

 En cuanto a (2) se tiene que \( a^2\leq b^2\quad \Leftrightarrow{ }\quad |a|\leq |b| \), por tanto:

\( x^2\leq 1\quad \Leftrightarrow{ }\quad |x|\leq 1\quad \Leftrightarrow{ }\quad -1\leq x\leq 1 \)

 Es decir:

\( f^{-1}([-1,1])=\{x\in\Bbb R| -1\leq x\leq 1\}=[-1,1] \)

Saludos.

Hola:

Hola, tengo el siguiente ejercicio:
sea \[ f: R \rightarrow{R}  \] definida por \( f(x)=x^2 \). Hallar la preimagen asociada al intervalo [-1,1], es decir: \( f^{-1}  ([-1,1])  \).
...

En mi guía de ejercicios figura que la respuesta es \( [-1,1] \), pero verdaderamente no lo entiendo y quisiera que me den una mano para comprender mejor la respuesta.
...

Supongo que la preimagen \( f^{-1} ([-1,1])=\{x\in \mathbb{R}\,|\,f(x)\in [-1,1]\}=[-1,1] \) ya que \( \forall\, x\in [-1,1], f(x)=x^2\in [0,1]\subset [-1,1] \)
luego \( [-1,1]\subset f^{-1} ([-1,1]) \) y recíprocamente si \( x\in f^{-1} ([-1,1]) \) entonces \( f(x)=x^2\in [-1,1] \) luego \( x\in [-1,1] \) y así \( f^{-1} ([-1,1])\subset [-1,1] \)

Saludos

Muchas gracias a ambos.