[clopez]

Buenos días. Me pueden dar alguna idea con respecto de este problema: Sea \( U\subseteq{\mathbb{R^m}} \) abierto y convexo. Si \( f:U\rightarrow{\mathbb{R}} \) posee derivadas parciales en todos los puntos de \( U \) y existe una constante positiva \( M \) tal que:

\( \left\|{\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}(x)}\right\| \leq{M}, \forall{x\in{U}}\ ,\forall{i=1,\ldots,m} \)

Pruebe que \( f \) es de Lipschitz en \( U \).

[Guli-Guli]

Tomemos dos puntos cualesquiera \( x, y \in \mathbb{R}^n \) y probemos que

\( |f(x) - f(y)| \leq K \| x - y \| \)

para algún \( K > 0 \).

En primer lugar, podemos generalizar el resultado que consultaste anteriormente (Derivadas parciales): existe un \( \theta \in\;]0, 1[ \) tal que

\( f(x) - f(y) = \displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(\theta x + (1 - \theta)y)(x_i - y_i) \)

(observa que \( \theta x + (1 - \theta)y \in U \) porque \( U \) es convexo). Dicho de forma más cómoda, si llamamos \( c := \theta x + (1 - \theta)y \), entonces

\( f(x) - f(y) = \nabla\!f(c) \cdot (x - y) \).

Ahora simplemente aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz y obtenemos lo requerido.