[ignacio.gomez]

Sea \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una función integrable en \( (\mathbb{R}, \mathcal{L}, \mu) \), donde \( \mu \) es la medida de Lebesgue. Se pide probar la siguiente desigualdad maximal:

Para todo \( \alpha > 0 \) se tiene:

\[
\mu\left( \left\{ x \in \mathbb{R} : \sup_{h>0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} |f(y)| d\mu(y) > \alpha \right\} \right) \leq \frac{1}{\alpha} \int |f(y)| d\mu(y).
\]

(a) Pruebe que para cada \( [a, b] \) compacto se tiene:

\[
\mu\left( \left\{ x \in [a, b] : \sup_{h>0: x+h \leq b} \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} |f(y)| d\mu(y) > \alpha \right\} \right) \leq \frac{1}{\alpha} \int |f(y)| d\mu(y).
\]

Indicación: Si \( \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} |f(y)| d\mu(y) > \alpha,\) entonces \( x \) es invisible por la derecha para cierta función.

(b) Concluya el resultado.

Necesito una ayuda para encontrar la función para la cual me dan la indicación en la parte a.

Muchas gracias de antemano.

[Guli-Guli]

No sé si será muy tarde para responderte, pero igualmente escribo la respuesta para el lector interesado.

(a) Pruebe que para cada \( [a, b] \) compacto se tiene:
\[
\mu\left( \left\{ x \in [a, b] : \sup_{h>0: x+h \leq b} \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} |f(y)| d\mu(y) > \alpha \right\} \right) \leq \frac{1}{\alpha} \int |f(y)| d\mu(y).
\]

Para la prueba de este apartado, te pongo un fragmento con pequeñas modificaciones del blog 245A, Notes 5: Differentiation theorems de Terrence Tao:

Fragmento

Fix \( {[a,b]} \). We apply the rising sun lemma to the function \( {F: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}} \) defined as

\( \displaystyle F(x) := \int_{[a,x]} |f(y)|\ d\mu(y) - (x-a) \lambda \).

By first fundamental theorem of calculus, \( {F} \) is continuous, and so we can find an at most countable sequence of intervals \( {I_n = (a_n,b_n)} \) with the properties given by the rising sun lemma. Thus

\( \displaystyle \left\{ x \in (a,b]: \sup_{h>0; [x,x+h] \subset [a,b]} \frac{1}{h} \int_{[x,x+h]} |f(y)|\ d\mu(y) > \lambda \right\} \subset \bigcup_n I_n \),

since the property \( {\frac{1}{h} \int_{[x,x+h]} |f(y)|\ d\mu(y) > \lambda} \) can be rearranged as \( {F(x+h) > F(x)} \). By countable additivity, we may thus upper bound the left-hand side of the inclusion by \( {\sum_n (b_n-a_n)} \). On the other hand, since \( {F(b_n)-F(a_n) \geq 0} \), we have

\( \displaystyle \int_{I_n} |f(y)|\ d\mu(y) \geq \lambda (b_n-a_n) \)

and thus

\( \displaystyle \sum_n (b_n-a_n) \leq \frac{1}{\lambda} \sum_n \int_{I_n} |f(y)|\ d\mu(y) \).

As the \( {I_n} \) are disjoint intervals in \( {I} \), we may apply monotone convergence and monotonicity to conclude that

\( \displaystyle \sum_n \int_{I_n} |f(y)|\ d\mu(y) \leq \int_{[a,b]} |f(y)|\ d\mu(y) \),

and the claim follows.

[cerrar]

(b) Concluya el resultado.

Esto se debe a que

\( \displaystyle\mu\left( \left\{ x \in \mathbb{R} : \sup_{h>0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} |f(y)| d\mu(y) > \alpha \right\} \right) = \displaystyle\lim_{n \to{}+\infty}{a_n} \),

donde \( ( a_n )_{n \in \mathbb{N}} \) es la sucesión de \( [0, +\infty] \) dada por

\( a_n := \displaystyle\mu\left( \left\{ x \in [-n,n] : \sup_{h>0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} |f(y)| d\mu(y) > \alpha \right\} \right) \).

Ahora ben, ya vimos en el apartado anterior que \( a_n \leq \frac{1}{\alpha} \int |f(y)| d\mu(y) \) para todo \( n \in \mathbb{N} \). Por consiguiente,

\( \displaystyle\lim_{n \to{}+\infty}{a_n} \leq \frac{1}{\alpha} \int |f(y)| d\mu(y) \)

y concluimos, así, la prueba de la desigualdad maximal.