[ndu]

La corteza semiesférica de la figura, de radio \( a \), ubicada con su centro en el origen, está uniformemente cargada con una densidad de carga \( \sigma=cte \).
A) Probar que el campo eléctrico en \( z=0 \) es \( E=\dfrac{\color{blue}\sigma \color{black}}{4\epsilon_0}\cdot \vec k \)

B) Determinar el campo eléctrico creado en su eje de simetría (el eje z) para \( z > -a \) (excluye el punto singular \( z = -a \)) en función de \( \sigma \) y de \( a \).

C) Determinar \( E(+a) \) y \( E(+2a) \) para el caso \( \sigma=+3.542nC/m^2 \) y \( a=0.5m \).

PISTA: La corteza semiesférica puede considerarse como la “suma” de infinitos anillos circulares de espesor infinitesimal.
Mensaje corregido desde la administración.

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

CORREGIDO (bis  )

[ani_pascual]

Hola, bienvenido al foro:

La corteza semiesférica de la figura, de radio \( a \), ubicada con su centro en el origen, está uniformemente cargada con una densidad de carga \( \sigma=cte \).
A) Probar que el campo eléctrico en \( z=0 \) es \( E=\dfrac{\sigma}{4\epsilon_0}\cdot \vec k \)
...

Igual me equivoco, pero ¿no falta el factor  \( a \) en el numerador?  \( \vec{E}=\dfrac{\sigma a}{4\epsilon_0}\cdot \vec k \)
Añadido: Pues parece que estaba bien el enunciado original. Sorry 
Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Utilizando un sistema de coordenadas \( XYZ \) (\( X \) horizontal, \( Y \) vertical y \( Z \) perpendicular a los anteriores con sentido positivo antihorario), y con la corteza semiesférica situada de manera que su eje de revolución coincida con el eje \( Y \) (con el diámetro contenido en el plano \( XZ \)), se llega (empleando la pista de los anillos infinitesimales) a que

\( \vec{E}=\dfrac{\sigma}{4\epsilon_0}(-\hat\jmath) \)

Saludos cordiales,
JCB.

[ani_pascual]

Hola:

...
se llega (empleando la pista de los anillos infinitesimales) a que

\( \vec{E}=\dfrac{\sigma}{4\epsilon_0}(-\hat\jmath) \)
...

En efecto, he repasado los cálculos, y mediante una integral de superficie de un campo escalar (la componente vertical del campo eléctrico en el origen) llego ahora a \( \vec{E}=\dfrac{\sigma}{4\varepsilon_0}\vec{k} \).
He usado la corteza semiesférica inferior con la parametrización \( \left\{ \begin{array}{l}x=a\cos\phi \cos\theta\\y=a\cos\phi \sen\theta\\z=-a\sen\phi\end{array}\right. \)
con \( 0\leq \theta\leq 2\pi, 0\leq \phi\leq \frac{\pi}{2} \)
Así, \( \vec{E}=\left(\displaystyle \int_S\dfrac{-k\sigma z}{a^3}\,dS\right)\vec{k}=\left(\displaystyle\int_0^{2\pi}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{k\sigma a\sen\phi a^2\cos\phi}{a^3}\,d\phi \,d\theta\right)\vec{k}=\cdots =\dfrac{\sigma}{4\varepsilon_0}\vec{k} \)
Saludos

[ani_pascual]

Hola:
Usando el mismo procedimiento, llego  a que el campo eléctrico creado por la superficie semiesférica en el punto  \( (0,0,a) \) del eje \( OZ \) es
\( \vec{E}=\textcolor{red}{\dfrac{\sigma (2-\sqrt{2})}{4\varepsilon_0}\vec{k}} \), salvo errores ...
Corregido  y añadido:

En el punto \( (0,0,2a) \) el campo eléctrico al que llego es \( \vec{E}=\dfrac{\sigma(5-\sqrt{5})}{40\varepsilon_0}\vec{k} \) 
Algo he debido de hacer mal porque no dependen del parámetro \( a \) 
Saludos

[ndu]

Hola, muchas gracias por responder, ¿pero sabría como abordar el apartado b)? Es que no se por donde empezar. Gracias

[delmar]

Hola

La cáscara semiesférica es la imagen de un campo vectorial, conveniente es que los parámetros sean las coordenadas esféricas, en este punto hay dos convenios el internacional y el americano, este último lo ha usado ani_pascual particularmente prefiero el internacional \( \rho\geq{0}, \  \ 0\leq{\theta}\leq{\pi}, \  \ 0\leq{\varphi}<2 \pi \) tienes que revisar que significa geométricamente cada uno de estos parámetros. Considerando estas coordenadas la cáscara es la imagen de un campo vectorial S definido :

\( S:D\subset{R^2}\rightarrow{R^3} \)

\( (\theta,\varphi )\rightarrow{\vec{S}(\theta,\varphi)=a \ sen \theta \  cos \varphi \vec{i}+a \ sen \theta \ sen \varphi \vec{j}+a \ cos \theta \vec{k}} \) donde \( D=\left\{{(\theta,\varphi ) \in{R^2} \ / \ \pi/2\leq{\theta}\leq{\pi}\wedge 0\leq{\varphi}<2 \pi}\right\} \)

Verifica que efectivamente Img (S)= cáscara

Una partición del dominio D implica que la cáscara se convierte en una reunión de elementos esféricos cuya área es \( \Delta S=a^2 \  sen \theta \ \Delta \varphi \ \Delta \theta  \) asociado cada elemento a un punto \( \vec{S}(\theta,\varphi) \), cada uno de estos elementos crea un campo eléctrico en un punto \( z_0\vec{k} \) del eje Z, por la Ley de Coulomb :

\( \Delta E=(\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}) \ \sigma \Delta S \ \displaystyle\frac{-a \ sen \theta \  cos \varphi \vec{i}-a \ sen \theta \ sen \varphi \vec{j}+(z_0-a \ cos \theta) \vec{k}}{||-a \ sen \theta \  cos \varphi \vec{i}-a \ sen \theta \ sen \varphi \vec{j}+(z_0-a \ cos \theta) \vec{k}||^3} \)

El campo eléctrico total será el límite de \( \displaystyle\sum_{}^{}\Delta E \)  cuando \( \Delta S\rightarrow{0} \) y esto es un integral doble :

\( \vec{E}=\displaystyle\int_{\pi}^{\pi/2}\displaystyle\int_{0}^{2 \pi} (\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}) \sigma a^2 \ sen \theta \ d \varphi \ d \theta \ \displaystyle\frac{-a \ sen \theta \  cos \varphi \vec{i}-a \ sen \theta \ sen \varphi \vec{j}+(z_0-a \ cos \theta) \vec{k}}{(a^2+z_0^2-2 \ z_0 \ a \ cos \theta)^{3/2}} \)

Se integra primero respecto a \( \varphi \) son tres integrales los dos primeros son cero.

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Hola, muchas gracias por responder, ¿pero sabría como abordar el apartado b)? Es que no se por donde empezar. Gracias

En el apartado b) se puede calcular el campo eléctrico creado por la superficie semiesférica en un punto de coordenadas \( (0,0,b) \) con \( -a<b<0 \) desglosando la superficie en dos zonas, la primera parte \( \{(x,y,z)\in S\,|\,b\leq z<0\} \) que se corresponde a \( 0<\phi \leq \arcsin \left(\frac{-b}{a}\right) \) y la segunda parte  \( \{(x,y,z)\in S\,|\,-a< z\leq b\} \) que se corresponde a \(  \arcsin \left(\frac{-b}{a}\right)\leq \phi <\frac{\pi}{2} \).

Así \( \vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2=\\\left(\displaystyle\int_S\dfrac{K\sigma (z-b)}{\sqrt{[(z-b)^2+a^2-z^2]^3}}\,dS\right)\vec{k}+\left(\displaystyle\int_S\dfrac{K\sigma (b-z)}{\sqrt{[(b-z)^2+a^2-z^2]^3}}\,dS\right)\vec{k}=\left(\displaystyle\int_0^{2\pi}\displaystyle\int_0^{\arcsin\left(\frac{-b}{a}\right)}\dfrac{-K\sigma (b+a\sin\phi)a^2\cos\phi}{\sqrt{(a^2+b^2+2ab\sin\phi )^3}}\,d\phi\,d\theta\right)\vec{k}+\\\left(\displaystyle\int_0^{2\pi}\displaystyle\int_{\arcsin\left(\frac{-b}{a}\right)}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{K\sigma (b+a\sin\phi)a^2\cos\phi}{\sqrt{(a^2+b^2+2ab\sin\phi )^3}}\,d\phi d\theta\right)\vec{k}= \cdots =\dfrac{-\sigma a(\sqrt{a^4-b^4}-a^2)}{2b^2\varepsilon_0\sqrt{a^2+b^2}}\vec{k}+\dfrac{\sigma a(a-\sqrt{a^2-b^2})}{2b^2\varepsilon_0}\vec{k}=\cdots =
\dfrac{\sigma a\left(a\sqrt{a^2+b^2}-2\sqrt{a^4-b^4}+a^2\right)}{2b^2\varepsilon_0\sqrt{a^2+b^2}}\vec{k} \)
Si se calcula el límite cuando \( b\to 0^{-} \) se obtiene el campo eléctrico en el origen \( O(0,0,0) \) calculado en el apartado a), es decir, \( \vec{E}=\dfrac{\sigma }{4\varepsilon_0}\vec{k} \)
Es probable que haya algún error de cálculo, así es que te sugiero repasarlos 


Saludos