[Zarquino]

Hola. No sé muy bien cómo se define exactamente el cuerpo de funciones racionales en una variable, \( k(t) \), en el contexto de geometría algebraica.

[Guli-Guli]

En principio, existen dos formas equivalentes de definir lo que es una función racional, ambas usadas en geometría algebraica. Lo daré sobre una variedad algebraica \( V \subset \mathbb{A}^{\!n} \) (es decir, un conjunto algebraico irreducible). Para tu caso basta con hacer la sustitución \( V = \mathbb{A}^{\!1} \).

Definición 1

Podemos formar el anillo de funciones regulares

\( k[V] := \displaystyle\frac{k[X_1, \dots, X_n]}{I(V)} \).

Al ser \( V \) irreducible se tiene que \( k[V] \) es un dominio íntegro porque \( I(V) \) sería un ideal primo, luego podemos formar el cuerpo de fracciones \( k(V) \) llamado cuerpo de funciones racionales.

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Definición 2

Llamémosle \( \mathfrak{F} \) al conjunto de todos los pares \( (U, f) \), donde \( U \) un abierto denso de \( V \) y \( f \in k[U] \). Sobre \( \mathfrak{F} \) definimos la relación de equivalencia

\( (U, f) \sim (U', f') \qquad \Longleftrightarrow{} \qquad f_{|_{U \cap U'}} = f_{|_{U \cap U'}}' \).

De aquí obtenemos otra forma de definir el cuerpo de funciones racionales en \( V \): el conjunto cociente \( k(V) := \mathfrak{F}/\!\!\sim \). Podemos dotar a \( k(V) \) de una estructura de cuerpo con las operaciones suma y producto respectivos

\( \overline{(U, f)} + \overline{(V, g)} := \overline{(U \cap V, f_{|_{U \cap V}} + g_{|_{U \cap V}})} \),

\( \overline{(U, f)}\cdot\overline{(V, g)} := \overline{(U \cap V, f_{|_{U \cap V}}\cdot g_{|_{U \cap V}})} \).

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