[aurus]

Buenas tardes, podrían ayudarme con este ejercicio. Si \( X \subseteq \mathbb{R}^n \) es un conjunto conexo y numerable, entonces \( X \) posee a lo más un punto.

Lo que intenté fue trabajar el caso finito (tratando de buscar una idea que pudiera generalizar). Supongamos que \( X \) posee dos elementos, digamos \( x_1 \) y \( x_2 \). Entonces, la distancia entre ellos es \( d(x_1, x_2) = d > 0 \). Luego, consideremos las bolas \( B(x_1, d/2) \) y \( B(x_2, d/2) \), que son conjuntos abiertos y disjuntos. Además, su unión es \( X \), pero esto contradice el hecho de que \( X \) es conexo. Sin embargo, no estoy seguro de que \( B(x_1, d/2) \) o \( B(x_2, d/2) \) estén contenidas íntegramente en el conjunto \( X \) o de si siempre es posible separar un subconjunto de \( \mathbb{R}^n \). Cualquier consejo o ayuda será bien recibida.

[Guli-Guli]

Considera las proyecciones \( \pi_k \colon \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} \) para \( k = \textcolor{blue}{1}, \dots, n \) y supón que \( X \) tiene dos puntos distintos. Entonces debe haber alguna proyección \( \pi_m \colon \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} \) tal que \( \pi_m(X) \) tiene más de un elemento, o de lo contrario estaríamos hablando de dos puntos diferentes con las mismas coordenadas, lo cual no tiene sentido.

Te propongo dos formas de continuar a partir de aquí:

Forma 1

¿Qué le pasa al conjunto \( \pi_m(X) \) al tener dos puntos distintos? ¿Y eso en que afecta al conjunto \( X \) de partida?

[cerrar]

Forma 2

El uso de las proyecciones nos permite reducir el ejercicio al caso \( n = 1 \). ¿Cómo lo demostrarías en este caso? Pista: usa que \( \mathbb{R} \setminus X \) no es vacío.

[cerrar]

Corregido.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tardes, podrían ayudarme con este ejercicio. Si \( X \subseteq \mathbb{R}^n \) es un conjunto conexo y numerable, entonces \( X \) posee a lo más un punto.

Lo que intenté fue trabajar el caso finito (tratando de buscar una idea que pudiera generalizar). Supongamos que \( X \) posee dos elementos, digamos \( x_1 \) y \( x_2 \). Entonces, la distancia entre ellos es \( d(x_1, x_2) = d > 0 \). Luego, consideremos las bolas \( B(x_1, d/2) \) y \( B(x_2, d/2) \), que son conjuntos abiertos y disjuntos. Además, su unión es \( X \), pero esto contradice el hecho de que \( X \) es conexo. Sin embargo, no estoy seguro de que \( B(x_1, d/2) \) o \( B(x_2, d/2) \) estén contenidas íntegramente en el conjunto \( X \) o de si siempre es posible separar un subconjunto de \( \mathbb{R}^n \). Cualquier consejo o ayuda será bien recibida.

Con ese argumento tendrías que \( B(x_1,d/2)\cap X \) y \( B(x_2/d/2)\cap X \) son dos abiertos disjuntos no vacíos contenidos en \( X \) pero para que eso contradijese la conexidad necesitarías que su unión fuese todo \( X \) y eso no lo tienes garantizado.

Siguiendo tu idea y como alternativa a los caminos propuestos por Guli-Guli, si podríamos razonar así. Consideramos las \( n-1 \)-esferas de radio \( r\in (0,d) \) y centradas en \( x_1 \).

\( S_r=\{x|d(x,x_1)=r\} \)

dado que son disjuntas, hay una cantidad no numerable de ellas y nuestro conjunto \( X \) es numerable entonces existe algún \( r_0\in (0,d) \) tal que \( S_{r_0}\cap X=\emptyset \).

Ahora comprueba que:

\( A=X\cap B(x_1,\color{red}r_0\color{black}) \)
\( B=X\cap \{x|d(x,x_1)>\color{red}r_0\color{black}\} \)

son dos abiertos disjuntos no vacíos cuya unión es \( X \), contradiciendo su conexidad.

Saludos.

[aurus]

Considera las proyecciones \( \pi_k \colon \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} \) para \( k = 0, \dots, n \) y supón que \( X \) tiene dos puntos distintos. Entonces debe haber alguna proyección \( \pi_m \colon \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} \) tal que \( \pi_m(X) \) tiene más de un elemento, o de lo contrario estaríamos hablando de dos puntos diferentes con las mismas coordenadas, lo cual no tiene sentido.

Te propongo dos formas de continuar a partir de aquí:

Forma 1

¿Qué le pasa al conjunto \( \pi_m(X) \) al tener dos puntos distintos? ¿Y eso en que afecta al conjunto \( X \) de partida?

[cerrar]

Forma 2

El uso de las proyecciones nos permite reducir el ejercicio al caso \( n = 1 \). ¿Cómo lo demostrarías en este caso? Pista: usa que \( \mathbb{R} \setminus X \) no es vacío.

[cerrar]

Hola Guli-Guli, siguiendo tus sugerencias, creo que lo tengo. Dado que \( X \) es un conjunto conexo y la proyección es una función continua, entonces la imagen de \( X \) vía \( \pi \) sería conexa, ¿verdad? Como hemos supuesto que \( X \) tiene dos puntos distintos, el conjunto \( \pi_m(X) \) tendría dos elementos. Por lo tanto, \( \pi_m(X) \) sería un subconjunto conexo y numerable de \( \mathbb{R} \), pero esto no es posible, ya que los subconjuntos conexos de \( \mathbb{R} \) son intervalos.

Es correcta esa forma de concluir que \( X \) debe tener a lo más un punto?

Gracias y disculpa la demora en responder.

[Guli-Guli]

Hola, Guli-Guli. Siguiendo tus sugerencias, creo que lo tengo. Dado que \( X \) es un conjunto conexo y la proyección es una función continua, entonces la imagen de \( X \) vía \( \pi \) sería conexa, ¿verdad? Como hemos supuesto que \( X \) tiene dos puntos distintos, el conjunto \( \pi_m(X) \) tendría dos elementos. Por lo tanto, \( \pi_m(X) \) sería un subconjunto conexo y numerable de \( \mathbb{R} \), pero esto no es posible, ya que los subconjuntos conexos de \( \mathbb{R} \) son intervalos.

¿Es correcta esa forma de concluir que \( X \) debe tener a lo más un punto?

Sí, es correcta. 

[aurus]

Hola

Buenas tardes, podrían ayudarme con este ejercicio. Si \( X \subseteq \mathbb{R}^n \) es un conjunto conexo y numerable, entonces \( X \) posee a lo más un punto.

Lo que intenté fue trabajar el caso finito (tratando de buscar una idea que pudiera generalizar). Supongamos que \( X \) posee dos elementos, digamos \( x_1 \) y \( x_2 \). Entonces, la distancia entre ellos es \( d(x_1, x_2) = d > 0 \). Luego, consideremos las bolas \( B(x_1, d/2) \) y \( B(x_2, d/2) \), que son conjuntos abiertos y disjuntos. Además, su unión es \( X \), pero esto contradice el hecho de que \( X \) es conexo. Sin embargo, no estoy seguro de que \( B(x_1, d/2) \) o \( B(x_2, d/2) \) estén contenidas íntegramente en el conjunto \( X \) o de si siempre es posible separar un subconjunto de \( \mathbb{R}^n \). Cualquier consejo o ayuda será bien recibida.

Con ese argumento tendrías que \( B(x_1,d/2)\cap X \) y \( B(x_2/d/2)\cap X \) son dos abiertos disjuntos no vacíos contenidos en \( X \) pero para que eso contradijese la conexidad necesitarías que su unión fuese todo \( X \) y eso no lo tienes garantizado.

Siguiendo tu idea y como alternativa a los caminos propuestos por Guli-Guli, si podríamos razonar así. Consideramos las \( n-1 \)-esferas de radio \( r\in (0,d) \) y centradas en \( x_1 \).

\( S_r=\{x|d(x,x_1)=r\} \)

dado que son disjuntas, hay una cantidad no numerable de ellas y nuestro conjunto \( X \) es numerable entonces existe algún \( r_0\in (0,d) \) tal que \( S_{r_0}\cap X=\emptyset \).

Ahora comprueba que:

\( A=X\cap B(x_1,r) \)
\( B=X\cap \{x|d(x,x_1)>r\} \)

son dos abiertos disjuntos no vacíos cuya unión es \( X \), contradiciendo su conexidad.

Saludos.

Hola, Luis!
Siguiendo tu idea, me parece que he conseguido terminar el ejercicio. Procedí de la siguiente forma para probar que \( A \) es abierto: dado \( a \in A \), entonces \( a \in X \) y \( d(a, x_1) < r_0 \). Definimos \( \epsilon = r_0 - d(a, x_1) > 0 \). Ahora consideremos la bola \( B(a, \epsilon) \); entonces, para cualquier \( y \in B(a, \epsilon) \), tenemos que \( d(y, a) < \epsilon \), luego \( d(y, x_1) \leq d(y, a) + d(a, x_1) < \epsilon + d(a, x_1) = r_0 \), y así \( y \in A \). Esto prueba que \( A \) es abierto y no vacío, pues contiene al punto \( x_1 \).

Para el conjunto \( B \), procedí de la misma forma y logré comprobar que es abierto y no vacío. En cuanto a \( A \cap B \), como decías, es vacío. Todo esto llevaría a una contradicción con el hecho de que \( X \) es un conjunto conexo. Adicionalmente, quería preguntarte algunos detalles, como por qué en tu sugerencia consideras \( n - 1 \) esferas, y también si hice bien al tomar \( A = X \cap B(x_1, r_0) \) en lugar del \( r \) general que estaba en la sugerencia.

Te agradezco mucho tu tiempo y ayuda en este ejercicio.

[Luis Fuentes]

Hola

Siguiendo tu idea, me parece que he conseguido terminar el ejercicio. Procedí de la siguiente forma para probar que \( A \) es abierto: dado \( a \in A \), entonces \( a \in X \) y \( d(a, x_1) < r_0 \). Definimos \( \epsilon = r_0 - d(a, x_1) > 0 \). Ahora consideremos la bola \( B(a, \epsilon) \); entonces, para cualquier \( y \in B(a, \epsilon) \), tenemos que \( d(y, a) < \epsilon \), luego \( d(y, x_1) \leq d(y, a) + d(a, x_1) < \epsilon + d(a, x_1) = r_0 \), y así \( y \in A \). Esto prueba que \( A \) es abierto y no vacío, pues contiene al punto \( x_1 \).

Bien. En realidad si ya has probado que en espacios métricos las bolas abiertas son abiertas entonces \( A \) es abierto en \( X \) por ser intersección de \( X \) con un abierto del espacio métrico donde trabajas.

Para el conjunto \( B \), procedí de la misma forma y logré comprobar que es abierto y no vacío. En cuanto a \( A \cap B \), como decías, es vacío. Todo esto llevaría a una contradicción con el hecho de que \( X \) es un conjunto conexo

.

Si. No olvides que también hay que comprobar que \( X=A\cup B \), aquí es clave que la esfera \( S_{r_0} \) no corta al conjunto \( X \); esto pudimos conseguirlo por ser \( X \) numerable.

Adicionalmente, quería preguntarte algunos detalles, como por qué en tu sugerencia consideras \( n - 1 \) esferas,

Una \( (n-1)-esfera \) es un objeto de dimensión \( n-1 \) en un espacio de dimensión \( n \) que generaliza el concepto de circunferencia en el plano: los puntos que están a distancia constante del origen.

Una \( 1 \)-esfera es una circunferencia (\( S^1 \) se denota normalmente si es de radio uno).
Una \( 2 \)-esfera es la superficie de una esfera usual (\( S^2 \) se deonota normalmente si es de radio uno)

y así

Una \( n-1 \)-esfera sería el conjunto de puntos de \( \Bbb R^n \) que están a una distancia constante \( r \) del origen. Si es de radio \( 1 \) se denota por \( S^{n-1} \).

y también si hice bien al tomar \( A = X \cap B(x_1, r_0) \) en lugar del \( r \) general que estaba en la sugerencia.

Si. Quería poner \( r_0 \). Fue una errata.

Saludos.