Hola
Sea \( f \) una función medible cuya integral de Lebesgue existe en \( \mathbb{R} \). Sea \( g \) la función de conjuntos medibles en \( \mathbb{R} \) dada por:
\( g(A)=\displaystyle\int_{A}f \)
i) Probar que g es numerablemente aditiva.
Nota que en general:
\( g(A)=\displaystyle\int_{A}f=\displaystyle\int_{\Bbb R}f\cdot \chi_{A} \)
Si \( A=\displaystyle\bigcup_{n\neq 1}A_n \), con los \( A_n \) disjuntos:
\( f\cdot \chi_{A}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\displaystyle\sum_{k=1}^nf\cdot \chi_{A_k} \)
Ahora ten en cuenta que:
\( \displaystyle\int_{\Bbb R}\displaystyle\sum_{k=1}^nf\cdot \chi_{A_n}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\displaystyle\int_{\Bbb R}f\cdot \chi_{A_k}=\displaystyle\sum_{k=1}^ng(A_k) \)
y aplica el Teorema de la convergencia dominada.
ii) si \( f\geq{0} \) c-t-p. Probar que g tiene las mismas propiedades de la integral de Lebesgue.
Si \( f\geq{0} \) c-t-p existe \( E \) de medida cero, tal que \( f|_{\Bbb R-E}\geq 0 \) y además:
\( \displaystyle\int_{A}f=\displaystyle\int_{A\cap E}f+\displaystyle\int_{A\cap (\Bbb R-E)}f=\displaystyle\int_{A\cap (\Bbb R-E)}f \)
Así puedes redefinir \( f=0 \) en \( E \) sin modificar \( g \) y trabar ya como si la función fuese no negativa en todo punto.
Ahora simplemente intenta probar diferentes propiedades, aunque para ser sincero no sé exactamente a cuáles se refiere. Lo que se cumple es que \( g \) es una medida.
Saludos.
