[Wursen]

Hola.

El título lo recorté para ser breve, quiero buscar la dependencia lineal de un conjunto de vectores usando eliminación Gaussiana. Al triangular la matriz, ¿Que casos me puedo encontrar? Por ejemplo, estuve leyendo que al no poder triangular entonces sería linealmente independiente. A esto me refiero con los posibles casos, ¿cómo yo me doy cuenta al triangular cuando es ld o li?

Gracias, saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

El título lo recorté para ser breve, quiero buscar la dependencia lineal de un conjunto de vectores usando eliminación Gaussiana. Al triangular la matriz, ¿Que casos me puedo encontrar? Por ejemplo, estuve leyendo que al no poder triangular entonces sería linealmente independiente. A esto me refiero con los posibles casos, ¿cómo yo me doy cuenta al triangular cuando es ld o li?

Una matriz siempre puede escalonarse utilizando el método de Gauss (mediante operaciones elementales fila).

Entonces si tu colocas las coordenadas de unos vectores como filas de una matriz, éstos son independientes si la matriz tiene igual rango que el número de vectores (que el número de filas). Eso equivale a que al escalonar por Gauss no aparezca ninguna fila totalmente nula.

Saludos.

[Fernando Revilla]

El título lo recorté para ser breve, quiero buscar la dependencia lineal de un conjunto de vectores usando eliminación Gaussiana. Al triangular la matriz, ¿Que casos me puedo encontrar? Por ejemplo, estuve leyendo que al no poder triangular entonces sería linealmente independiente. A esto me refiero con los posibles casos, ¿cómo yo me doy cuenta al triangular cuando es ld o li?

No sé a que te refieres con triangular en la eliminación gaussiana. Supongo que te refieres a "escalonar" para  hallar el rango, que siempre es posible. Puede serte útil: Rango de una matriz. Dependencia lineal en \( \mathbb{K}^n \)

P.D. Se adelantó Luis por instantes.

[Wursen]

Hola

El título lo recorté para ser breve, quiero buscar la dependencia lineal de un conjunto de vectores usando eliminación Gaussiana. Al triangular la matriz, ¿Que casos me puedo encontrar? Por ejemplo, estuve leyendo que al no poder triangular entonces sería linealmente independiente. A esto me refiero con los posibles casos, ¿cómo yo me doy cuenta al triangular cuando es ld o li?

Una matriz siempre puede escalonarse utilizando el método de Gauss (mediante operaciones elementales fila).

Entonces si tu colocas las coordenadas de unos vectores como filas de una matriz, éstos son independientes si la matriz tiene igual rango que el número de vectores (que el número de filas). Eso equivale a que al escalonar por Gauss no aparezca ninguna fila totalmente nula.

Saludos.

¿Si uso el teorema de Rouché-Frobenius al triangular esto que me dices como aplicaría?

[Luis Fuentes]

Hola

¿Si uso el teorema de Rouché-Frobenius al triangular esto que me dices como aplicaría?

No estoy cien por cien seguro de a qué te refieres.

En tu pregunta inicial hablabas de determinar cuando unos vectores son independientes; ahí en principio el Teorema de Rouché-Frobenius no pinta nada (digo en principio porque podría relacionarse).

El  Teorema de Rouché-Frobenius nos permite determinar cuando un sistema de ecuaciones es compatible y la dimensión de su espacio de soluciones.

Es compatible (tiene alguna solución) si los rangos de las matrices del sistema y ampliada coinciden; en ese caso la solución depende de \( n-rango \) número de parámetros independientes, siendo \( n \) el número de incógnitas.

Ahora para hacer ese estudio de los rangos de la matriz del sistema y de la ampliada, puede usarse Gauss, escalonando la matriz ampliada. El sistema será compatible si las filas de ceros obtenidas en la matriz del sistema son también filas de cero en la ampliada. Además una vez escalonado, el rango de la matriz es el número de filas no nulas.

Saludos.

[feriva]

Hola.

Por ejemplo, estuve leyendo que al no poder triangular entonces sería linealmente independiente.

Lo que va a ocurrir si son LI (linealmente independientes) es que en la diagonal no te va a aparecer ningún cero; y como el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal, pues el determinante no es cero y eso quiere decir que son LI. En cambio, si hay algún cero en la diagonal, aunque sólo haya uno... entonces el producto es cero, el determinante es cero, y no son LI.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que va a ocurrir si son LI (linealmente independientes) es que en la diagonal no te va a aparecer ningún cero; y como el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal, pues el determinante no es cero y eso quiere decir que son LI. En cambio, si hay algún cero en la diagonal, aunque sólo haya uno... entonces el producto es cero, el determinante es cero, y no son LI.

 Ojo con esto en dos sentidos:

 1) Estás hablando de la matriz ya escalonada.

 2) En una matriz NO cuadrada no está muy claro a que estás llamando diagonal. En principio uno se referiría a los elementos de la misma fila y columna, es decir, fila 1, columna 1; fila 2, columa 2; fila 3, columna 4, etcétera. Pero en ese caso no es cierto que la independencia equivalga a que esos elementos sean no nulos. Por ejemplo los vectores \( \{(1,1,0,1),(0,0,1,2),(0,0,0,1)\} \) son independientes pero forman la matriz:

\( \begin{pmatrix} \color{red}1\color{black} &1& 0&1\\ 0&\color{red}0\color{black}&1&2\\0&0&\color{red}0\color{black}&1\\\end{pmatrix} \)

en cuya diagonal principal hay ceros.

Saludos.

[feriva]

Hola

Lo que va a ocurrir si son LI (linealmente independientes) es que en la diagonal no te va a aparecer ningún cero; y como el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal, pues el determinante no es cero y eso quiere decir que son LI. En cambio, si hay algún cero en la diagonal, aunque sólo haya uno... entonces el producto es cero, el determinante es cero, y no son LI.

 Ojo con esto en dos sentidos:

 1) Estás hablando de la matriz ya escalonada.

 2) En una matriz NO cuadrada no está muy claro a que estás llamando diagonal. En principio uno se referiría a los elementos de la misma fila y columna, es decir, fila 1, columna 1; fila 2, columa 2; fila 3, columna 4, etcétera. Pero en ese caso no es cierto que la independencia equivalga a que esos elementos sean no nulos. Por ejemplo los vectores \( \{(1,1,0,1),(0,0,1,2),(0,0,0,1)\} \) son independientes pero forman la matriz:

\( \begin{pmatrix} \color{red}1\color{black} &1& 0&1\\ 0&\color{red}0\color{black}&1&2\\0&0&\color{red}0\color{black}&1\\\end{pmatrix} \)

en cuya diagonal principal hay ceros.

Saludos.

Sí, estaba pensando en la matriz ya escalonada, triangular y cuadrada, porque había asumido alegremente que se refería a eso, pero no tiene por qué ser así.

Muchas gracias, Luis.