[pablo.chanduj]

              Buenas noches estimados: Tengo el siguiente ejercicio: Dados los siguientes numeros racionales 2/3<7/9 encontrar un racional de la forma \( \displaystyle\frac{m}{10^n} \) tal que: \( \displaystyle\frac{2}{3}<\displaystyle\frac{m}{10^n}<\displaystyle\frac{7}{9} \)

               Necesito sugerencias para resolver este ejercicio. Muchas gracias!

[ani_pascual]

Hola:

   ...
Tengo el siguiente ejercicio: Dados los siguientes numeros racionales 2/3<7/9 encontrar un racional de la forma \( \displaystyle\frac{m}{10^n} \) tal que: \( \displaystyle\frac{2}{3}<\displaystyle\frac{m}{10^n}<\displaystyle\frac{7}{9} \)
  ...

Una vía puede ser expresar en forma decimal (periódica en este caso) los números \( \dfrac{2}{3} \) y \( \dfrac{7}{9} \), y elegir un número decimal exacto que se halle entre ellos; creo que valdría \(  0'7=\dfrac{7}{10} \).
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Es lo mismo que exigir que \( 6 \cdot 10^n < 9m < 7 \cdot 10^n \) para cada \( n \in \mathbb{N} \) es fácil encontrar un \( m \) que lo verifique, por ejemplo \( m=\dfrac{6 \cdot 10^n+3}{9} \).
En general \( m = \dfrac{6 \cdot 10^n + 3 + 9 \cdot k}{9} \) con \( k \in \mathbb{N} \cup \{0\}  \) verificando \( k < \dfrac{10^n-3}{9} \)

[pablo.chanduj]

Es lo mismo que exigir que \( 6 \cdot 10^n < 9m < 7 \cdot 10^n \) para cada \( n \in \mathbb{N} \) es fácil encontrar un \( m \) que lo verifique, por ejemplo \( m=\dfrac{6 \cdot 10^n+3}{9} \).
En general \( m = \dfrac{6 \cdot 10^n + 3 + 9 \cdot k}{9} \) con \( k \in \mathbb{N} \cup \{0\}  \) verificando \( k < \dfrac{10^n-3}{9} \)

                   Antes que nada, gracias por la respuesta. Pero lo que me pide el ejercicio es encontrar dos valores concretos de m y n, de manera que se cumpla la desigualdad. Es posible deducir valores concretos para m y n, es decir no elegirlos al azar. me explico? aguardo respuesta. Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Es lo mismo que exigir que \( 6 \cdot 10^n < 9m < 7 \cdot 10^n \) para cada \( n \in \mathbb{N} \) es fácil encontrar un \( m \) que lo verifique, por ejemplo \( m=\dfrac{6 \cdot 10^n+3}{9} \).
En general \( m = \dfrac{6 \cdot 10^n + 3 + 9 \cdot k}{9} \) con \( k \in \mathbb{N} \cup \{0\}  \) verificando \( k < \dfrac{10^n-3}{9} \)

                   Antes que nada, gracias por la respuesta. Pero lo que me pide el ejercicio es encontrar dos valores concretos de m y n, de manera que se cumpla la desigualdad. Es posible deducir valores concretos para m y n, es decir no elegirlos al azar. me explico? aguardo respuesta. Gracias!

Tanto ani_pascual como Juan Pablo te han dado un par de métodos que no se basan en dar valores al azar.

ani_pascual te propone que calcules la expresión decimal de \( x=2/3 \) e \( y=7/9 \). Luego fíjate que en el primer decimal que difiere uno del otro; eso te permite escrbir la expresión decimal de un número intermedio (con un número finito de cifras decimales) que se escribe trivialmente como \( m/10^n \).

Spoiler

Por ejemplo si \( x=481/625 \) e \( y=77/100 \), se tiene que \( x=0.7696 \) e \( y=0.77 \). La primera cifra decimal distinta es la segunda. Buscamos la siguiente cifra de \( x \) menor que \( 9 \) que podemos incrementar para encontrar un número intermedio. Sería:

\( z=0.7697=\dfrac{7697}{10^4} \)

[cerrar]

Juan_pablo quitando denominadores te indica que tu problema es equivalente a encontrar \( m,n \) cumpliendo:

\( 6\cdot 10^n<9m<7\cdot 10^n \)

Por tanto:

\( 9m=6\cdot 10^n+k \)

con \( 1\leq k<7\cdot 10^n-6\cdot 10^n=10^n \).

Entonces:

\( m=\dfrac{6\cdot 10^n+k}{9} \) (*).

Fijado \( n \) basta que escojas un \( 1\leq k<10^n \) y que haga el cociente (*) entero, y por criterios de divisibilidad eso equivale a que [tek]k=3[/tex] mod \( 9 \).

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:
Quizás convenga hacer observar a pablo.chanduj que, según cuáles sean las cotas, encontrar ese \( m \) se podrá hacer pero no necesariamente para todo valor de \( n \).
En el ejemplo del enunciado, para todo \( n\geq 1 \), sí se puede hallar ese \( m \), pero en otros casos no. Por ejemplo, si fuera
\( \dfrac{2}{3}<\dfrac{m}{10^n}<\dfrac{61}{91} \) ya no se podría hallar \( m \) para el caso \( n=1 \) pues
\( \dfrac{2}{3}=0,66666\ldots \) y
\( \\[2mm]\dfrac{61}{91}=0,6703296\ldots \) y habría que buscarlo para valores de \( n\geq 2 \), por ejemplo, \( n=2 \) y \( m=67 \), ya que \( \dfrac{2}{3}<\dfrac{67}{10^2}<\dfrac{61}{91}\Longleftrightarrow\\ 0,666\ldots <0,67<0,67032296\ldots \)
Saludos 🖐🏻

[electron]

Propongo una forma más "visual".

Llamamos \( x=10^n,y=m \) y planteamos el sistema de inecuaciones:

\( 2x<3y \)
\( 9y<7x \)

Dibujamos ambas y vemos que hay infinitas soluciones, todas ellas dentro de la región común (azul oscuro). Dado que \( x=10^n \), las posibles soluciones están en las rectas verticales \( x=1,x=10,x=100,... \).

Por ejemplo, para \( x=10 \) hay una solución en \( y=7 \) (\( n=1,m=7 \) y racional \( 7/10 \)):



Y para \( x=100 \) hay una solución en \( y=73 \) (\( n=2,m=73 \) y racional \( 73/100 \)):



Ambos cumplen las condiciones; puedes encontrar todos los que quieras además de estos dos.

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

                   Antes que nada, gracias por la respuesta. Pero lo que me pide el ejercicio es encontrar dos valores concretos de m y n, de manera que se cumpla la desigualdad. Es posible deducir valores concretos para m y n, es decir no elegirlos al azar. me explico? aguardo respuesta. Gracias!

Pero en mi mensaje te doy una forma explicita para encontrar esos números:
\( m(n) = \dfrac{6 \cdot 10^n +3 + 9 \cdot k}{9}  \)

[pablo.chanduj]

                ¡Gracias a todos por sus aportes! ¡me sirvió todo! ¡saludos cordiales!