[ignacio.gomez]

¿Me podrían ayudar a resolver este problema?.

Considere \( [0,1], \mathcal{L}, \mu \) la medida de Lebesgue en \( [0,1] \), donde denotaremos por \( \mathcal{B} = \mathcal{B}([0,1]) \) la \( \sigma \)-álgebra Boreliana de \( [0,1] \). Consideremos además la suma módulo 1, es decir, para todo \( x, y \in [0,1] \):

\[
x \oplus y = \begin{cases}
x + y & \text{si } x + y < 1 \\
x + y - 1 & \text{si } x + y \geq 1.
\end{cases}
\]

Pruebe que:

- Para todo \( A \in \mathcal{B} \) y todo \( x \in [0,1] \), el conjunto

\[
A \oplus x = \{ u \oplus x : u \in A \}
\]

pertenece a \( \mathcal{B} \).

- Pruebe que para cada \( A \in \mathcal{B}, x \in [0,1] \), se tiene \( \mu(A \oplus x) = \mu(A) \). Indicación: pruebe esto para \( A \) un intervalo.

- Pruebe que para cada \( A \in \mathcal{L}, x \in [0,1] \), se tiene \( \mu(A \oplus x) = \mu(A) \).
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[Luis Fuentes]

Hola

¿Me podrían ayudar a resolver este problema?.

Considere \( [0,1], \mathcal{L}, \mu \) la medida de Lebesgue en \( [0,1] \), donde denotaremos por \( \mathcal{B} = \mathcal{B}([0,1]) \) la \( \sigma \)-álgebra Boreliana de \( [0,1] \). Consideremos además la suma módulo 1, es decir, para todo \( x, y \in [0,1] \):

\[
x \oplus y = \begin{cases}
x + y & \text{si } x + y < 1 \\
x + y - 1 & \text{si } x + y \geq 1.
\end{cases}
\]

Pruebe que:

- Para todo \( A \in \mathcal{B} \) y todo \( x \in [0,1] \), el conjunto

\[
A \oplus x = \{ u \oplus x : u \in A \}
\]

pertenece a \( \mathcal{B} \).

Nota que dado \( A\subset [0,1] \), \( A=(A\cap [0,1-x))\sqcup (A\cap [1-x,1]) \)y entonces:

\( A\oplus x=((A\cap [0,1-x))+x)\cup ((A\cap [1-x,1])+x-1) \)  (*)

Pero si \( A \) es boleriano, \( A\cap [0,1-x] \) y \( A\cap [1-x,1] \) son bolerianos por ser intersección de bolerianos y sus traslaciones también. Y la unión de bolerianos es un boleriano.

- Pruebe que para cada \( A \in \mathcal{B}, x \in [0,1] \), se tiene \( \mu(A \oplus x) = \mu(A) \). Indicación: pruebe esto para \( A \) un intervalo.

Sigue la sugerencia y/o usa (*).

- Pruebe que para cada \( A \in \mathcal{L}, x \in [0,1] \), se tiene \( \mu(A \oplus x) = \mu(A) \).

Puedes usar de nuevo (*) y tener en cuenta que la medida de la suma de disjuntos es la suma de medidas; que las traslaciones conservan conjuntos Lebesgue medibles y sus medidas y que \( ((A\cap [0,1-x))+x)\cap ((A\cap [1-x,1])+x-1)\subset \{x\} \)

Saludos.