El enunciado dice lo siguiente:
En este ejercicio, se nota \( \text{ZF}_{\text{fin}} \) a \( \text{ZF} \) en que el axioma de infinitud ha sido reemplazado por su negación: «todos los conjuntos son finitos». (Los otros axiomas y esquemas se mantienen iguales.)
(1) Demostrar (en \( \text{ZF}^- \)) que \( (V_\omega, \in) \models \text{ZF}_{\text{fin}} \)
(2) Deducir (en \( \text{ZF}^- \)) que \( \text{Cons}(\text{ZF}_{\text{fin}}) \).
Primero que todo, entiendo que el axioma «todos los conjuntos son finitos» lo podemos escribir como \( \forall x\exists n\exists f(n\in \omega \land f\text{ función}\land \text{dom}(f)=x\land \text{im}(f)=n \land f\text{ biyectiva}) \). Observar que como \( V_\omega \) es transitivo podemos usar las simplificaciones del hilo anterior:
- (extensionalidad) : \( \checkmark \)
- (par) : si \( a,b\in V_\omega \) entonces existen \( n,m \in \omega \) tales que \( a\in V_n \) y \( b\in V_m \) luego como \( V_n,V_m\subset V_{n+m} \) tenemos \( a,b\in V_{n+m} \) luego \( \{a,b\}\subset V_{n+m} \) y por lo tanto \( \{a,b\}\in V_{n+m+1} \in V_\omega \)
- (unión) si \( a\in V_\omega \) entonces existe \( n\in \omega \) tal que \( a\in V_n \) luego \( \bigcup a \subset V_n \) pues si \( x\in \bigcup a \) entonces existe \( y\in a \) tal que \( x\in y \) pero por la transitividad \( x\in V_n \) luego \( \bigcup a \in \mathfrak{P}(V_n) = V_{n+1} \in V_\omega \)
- (potencia) : si \( a\in V_\omega \) entonces existe \( n\in \omega \) tal que \( a\in V_n \) y por lo tanto \( a\subset V_{n} \) de donde \( \mathfrak{P}(a)\subset \mathfrak{P}(V_{n}) = V_{n+1} \) y por lo tanto \( \mathfrak{P}(a)\in V_{n+2}\in V_\omega \)
- (fundación) : es inmediato ver que \( V_\omega \subset V \)
- (todos los conjuntos son finitos) : este no me sale
- (reemplazo) : para este si voy a relativizar el axioma \( [\forall \vec{z} \forall a (\forall x\in a \exists ! y\ \psi(x,y,\vec{z}) \Rightarrow \exists b \forall x\in a \exists y\in b\ \psi(x,y,\vec{z}))]^{V_\omega} = \forall \vec{z}\in V_\omega \forall a\in V_\omega (\forall x\in a \exists ! y \in V_\omega \ \psi^{V_\omega}(x,y,\vec{z}) \Rightarrow \exists b\in V_\omega \forall x\in a \exists y\in b\ \psi^{V_\omega}(x,y,\vec{z}))] \). Aquí creo que puedo razonar como me ayudo Carlos en el hilo anterior, fijemos \( \vec{z},a\in V_\omega \) y tenemos como hipótesis que \( \forall x\in a \exists ! y \in V_\omega \ \psi^{V_\omega}(x,y,\vec{z}) \). Ahora aplicamos ¿comprensión? a la formula \( \phi(x,y,\vec{z}) :\equiv y\in V_\omega \land \psi^{V_\omega}(x,y,\vec{z}) \) que nos dará un conjunto \( b \) tal que \( \forall x\in a \exists y\in b\ \phi(x,y,\vec{z}) \), como en la fórmula pedimos \( y\in V_\omega \) también funcionara \( b\cap V_\omega \) y aquí me tranco porque no logro asegurar que \( b\cap V_\omega \in V_\omega \), como mucho tengo que \( b\cap V_\omega \in V_{\omega+1} \) pero eso no sirve.
- (comprensión) : lo deducimos de reemplazo
Supongo que cuando dices "comprensión" quieres decir "reemplazo".
Las dos partes que no te salen se pueden deducir de un mismo hecho general:
Si \( x\subset V_\omega \) es finito, entonces \( x\in V_\omega \).
Trata de demostrar eso. Si tienes dificultades, lo hablamos.
Admitiendo esto, continuamos tu demostración del axioma del reemplazo. Has encontrado un conjunto $$b$$. Ahora considera la aplicación $$f: a\longrightarrow b$$ que a cada $$x\in a$$ le hace corresponder el único $$f(x)\in b$$ que cumple \( \psi^{V_\omega}(x, f(x), \vec z) \).
La clave está en que puedes reemplazar $$b$$, no por $$b\cap V_\omega$$, como intentabas, sino por $$f[a]$$, que es un conjunto finito, porque $$a$$ lo es (la imagen de un conjunto finito por cualquier aplicación es siempre un conjunto finito), y cumple $$f[a]\subset V_\omega$$, luego $$b=f[a]\in V_\omega$$ y cumple todo lo requerido.
Para probar que en $$V_\omega$$ todo conjunto es finito, toma un \( x\in V_\omega \). En particular, \( x \) es un conjunto finito, luego existe un $$n\in \omega$$ y una biyección $$f: n\longrightarrow x$$.
Ahora, observa que si $$i\in n$$ y $$u\in x$$, entonces $$(i, u) =\{\{i\},\{i, u\}\}\in V_\omega$$, y esto implica que $$f\subset V_\omega$$, pero $$f$$ es un conjunto finito, luego $$f\in V_\omega$$, y también $$n\in V_\omega$$, y se cumple que $$(f:n\longrightarrow x \text{ biyectiva})^{V_\omega}$$, que es lo que necesitas.
Alternativamente, en lugar de usar que $$f$$ es un conjunto finito, puedes probar que si \( n, x\in V_k \), entonces \( f\in V_{k+3} \).
La comprobación de que $$f:n\longrightarrow x \text{ biyectiva}$$ equivale a $$(f:n\longrightarrow x \text{ biyectiva})^{V_\omega}$$ es un tanto laboriosa y depende fuertemente de que $$V_\omega$$ es transitivo.
No sé si ya has estudiado lo que son fórmulas absolutas para modelos transitivos. A la larga, para trabajar con modelos transitivos es imprescindible familiarizarse con esta idea, y saber que la mayor parte de los conceptos conjuntistas básicos son absolutos para modelos transitivos de ZF, como es el caso de $$f: A\longrightarrow B$$, lo que quiere decir que unos elementos $$f, A, B$$ de un modelo transitivo cumplen esto si y sólo si se cumple su relativización al modelo.
