[Berner]

Calcule la curvatura de la espiral logaritmica p.p.a utilizando el metodo de determinantes :$$\beta(s) = \left( \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) , \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right)$$
Hola esto esta bien creo que me enrede :


La curva está dada por:
\[
\beta(s) = \left( \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) , \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right)
\]
 
Derivadas primeras

Definimos las componentes de la curva como:
\[
x(s) = \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)
\]
\[
y(s) = \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)
\]

Derivamos \(x(s)\) y \(y(s)\) respecto de \(s\).

Derivada de \(x(s)\):

Usamos la regla del producto para derivar:
\[
\frac{dx}{ds} = \frac{d}{ds} \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \cdot \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \cdot \frac{d}{ds} \left[ \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right]
\]

Primero derivamos el primer término:
\[
\frac{d}{ds} \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
Por lo tanto, el primer término de la derivada es:
\[
\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)
\]

Ahora derivamos el segundo término. Usamos la regla de la cadena:
\[
\frac{d}{ds} \left[ \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right] = -\sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \cdot \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
Así que el segundo término es:
\[
\left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \cdot \left( -\sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)
\]

Sumamos ambos términos:
\[
\frac{dx}{ds} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)
\]

 Derivada de \(y(s)\):

Aplicamos nuevamente la regla del producto:
\[
\frac{dy}{ds} = \frac{d}{ds} \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \cdot \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \cdot \frac{d}{ds} \left[ \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right]
\]

El primer término es:
\[
\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)
\]

El segundo término es:
\[
\left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \cdot \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \cdot \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)
\]

Sumamos ambos términos:
\[
\frac{dy}{ds} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)
\]

 Derivadas segundas

Ahora derivamos \(\frac{dx}{ds}\) y \(\frac{dy}{ds}\) para obtener las derivadas segundas.

 Derivada segunda de \(x(s)\):

Derivamos:
\[
\frac{d^2x}{ds^2} = \frac{d}{ds} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right)
\]

El primer término es:
\[
-\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \cdot \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

El segundo término es:
\[
-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \cdot \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Simplificando, tenemos:
\[
\frac{d^2x}{ds^2} = -\frac{1}{2} \left( \frac{\sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right)
\]

Continuamos con las derivadas segundas de \(x(s)\) y \(y(s)\).

Derivada segunda de \(y(s)\) (continuación):
\[
\frac{d^2y}{ds^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right)
\]
  Cálculo del determinante

La fórmula de la curvatura de una curva plana parametrizada por \(s\) es:
\[
\kappa(s) = \frac{|x'(s) y''(s) - y'(s) x''(s)|}{\left( x'(s)^2 + y'(s)^2 \right)^{3/2}}
\]
donde \(x'(s)\) y \(y'(s)\) son las derivadas primeras, y \(x''(s)\) y \(y''(s)\) son las derivadas segundas.

  Cálculo del numerador

Primero calculamos el determinante:
\[
D = x'(s) y''(s) - y'(s) x''(s)
\]
Con los valores de \(x'(s)\), \(y'(s)\), \(x''(s)\), y \(y''(s)\) obtenidos previamente:

\[
D = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right) \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{\cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right)
\]
\[
- \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right) \cdot -\frac{1}{2} \left( \frac{\sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right)
\]

Al simplificar los términos, obtenemos:
\[
D = \frac{1}{2} \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}}
\]

Cálculo del denominador

El denominador es:
\[
\left( x'(s)^2 + y'(s)^2 \right)^{3/2}
\]
Ya calculamos \(x'(s)\) y \(y'(s)\), así que sumamos los cuadrados de sus valores:
\[
x'(s)^2 + y'(s)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right)^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right)^2
\]

Simplificando, obtenemos:
\[
x'(s)^2 + y'(s)^2 = \frac{1}{2}
\]

Por lo tanto, el denominador es:
\[
\left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}
\]

Cálculo de la curvatura

Finalmente, calculamos la curvatura:
\[
\kappa(s) = \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}}
\]
\[
\kappa(s) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}}
\]

Esta es la curvatura de la espiral logarítmica dada por \(\beta(s)\).

[ani_pascual]

Hola:

...

Por lo tanto, el denominador es:

\[
\left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}
\]

Cálculo de la curvatura

Finalmente, calculamos la curvatura:
\[
\kappa(s) = \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}}
\]
\[
\kappa(s) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}}
\]

Me parece que el denominador es uno.
Añadido
No he dicho nada . Lo veo bien, salvo el valor de
\( D \), que obtengo \( \dfrac{1}{s+\sqrt{2}} \), es decir, \( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{1+\frac{s}{\sqrt{2}}} \)
Saludos

[ani_pascual]

Hola:
Por cierto, como la curva está parametrizada proporcionalmente al arco, es más breve hallar la curvatura mediante la expresión \( \kappa(s)=|(x''(s),y''(s))| \)
Saludos

[Masacroso]

Claro, el símbolo \( s \) en este contexto se suele reservar para la parametrización por arco. Si es cierto que la parametrización es por arco, es decir si \( |\beta '|=1 \), entonces te puedes ahorrar algunos cálculos como dice ani_pascual. Pero, en cualquier caso, no veo que se haya calculado la curvatura usando algún determinante sino la fórmula general para la curvatura de una curva (valga la redundancia).

[ani_pascual]

Hola:

...
  Cálculo del determinante

La fórmula de la curvatura de una curva plana parametrizada por \(s\) es:
\[
\kappa(s) = \frac{|x'(s) y''(s) - y'(s) x''(s)|}{\left( x'(s)^2 + y'(s)^2 \right)^{3/2}}
\]
...

Como bien dice Masacroso, el numerador de la fórmula no es un determinante sino el valor absoluto de \( x'(s)y''(s)-y'(s)x''(s) \), ya que la fórmula de la curvatura, para una parametrización arbitraria \( \alpha=\alpha(t) \) es \( \kappa^2=\dfrac{(\alpha')^2(\alpha'')^2-(\alpha'\cdot \alpha'')^2}{[(\alpha')^2]^3} \).
En el caso particular de que está p.p.a. se tiene \( \kappa^2=\dfrac{|\beta'|^2|\beta''|^2}{(|\beta'|^2)^3}=|\beta''|^2\Longrightarrow \kappa =|\beta''| \) ya que \( |\beta'|=1  \) y \( \beta'\perp \beta'' \)
Saludos

[Berner]

Derivadas de la función vectorial

Dada la función vectorial:
$$\beta(s) = \left( \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) , \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right)$$

Primera derivada con respecto a \(s\):
\[
\beta'(s) = \left( \frac{d}{ds} \left[ \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right], \frac{d}{ds} \left[ \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right] \right)
\]

Usamos la regla del producto y la regla de la cadena para derivar cada componente.

Para la componente \(x\):
\[
\beta'_x(s) = \frac{d}{ds} \left[ \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right]
\]
\[
= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right) + \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \left( -\sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \cdot \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right)
\]
\[
= \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)
\]

Para la componente \(y\):
\[
\beta'_y(s) = \frac{d}{ds} \left[ \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right]
\]
\[
= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right) + \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \left( \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \cdot \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right)
\]
\[
= \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)
\]

 Segunda derivada con respecto a \(s\)

Para la componente \(x\):
\[
\beta''_x(s) = \frac{d}{ds} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right]
\]
\[
= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( -\sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \cdot \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \cdot \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right)
\]
\[
= -\frac{1}{2} \left( \frac{\sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right)
\]

Para la componente \(y\):
\[
\beta''_y(s) = \frac{d}{ds} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right]
\]
\[
= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \cdot \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \cdot \frac{1}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right)
\]
\[
= \frac{1}{2} \left( \frac{\cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right)
\]


Cálculo de la curvatura

Recordemos que necesitamos calcular el determinante de la matriz formada por \(\beta'(s)\) y \(\beta''(s)\):

\[
\kappa(s) = \frac{\left| \begin{vmatrix}
\beta'_x(s) & \beta'_y(s) \\
\beta''_x(s) & \beta''_y(s)
\end{vmatrix} \right|}{\left( \sqrt{\beta'_x(s)^2 + \beta'_y(s)^2} \right)^3}
\]

Primero, calculemos el determinante:

\[
\begin{vmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) & \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \\
-\frac{1}{2} \left( \frac{\sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right) & \frac{1}{2} \left( \frac{\cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right)
\end{vmatrix}
\]

\[
= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right) \left( \frac{1}{2} \left( \frac{\cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right) \right)
\]

\[
- \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right) \left( -\frac{1}{2} \left( \frac{\sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right) \right)
\]

Simplificando, obtenemos:

\[
= \frac{1}{2} \left( \frac{\cos^2 \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \sin^2 \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right)
\]

\[
= \frac{1}{2} \left( \frac{\cos^2 \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \sin^2 \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - 2 \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right)
\]

\[
= \frac{1}{2} \left( \frac{1 - 2 \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right)
\]

Norma de la primera derivada

\[
\left| \beta'(s) \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right)^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right)^2}
\]

\[
= \sqrt{\frac{1}{2} \left( \cos^2 \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - 2 \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \sin^2 \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right) + \frac{1}{2} \left( \sin^2 \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + 2 \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \cos^2 \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right)}
\]

\[
= \sqrt{\frac{1}{2} \left( 1 - 2 \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right) + \frac{1}{2} \left( 1 + 2 \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right)}
\]

\[
= \sqrt{1} = 1
\]

 
Finalmente, la curvatura es:

\[
\kappa(s) = \frac{\left| \frac{1}{2} \left( \frac{1 - 2 \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right) \right|}{\left( \sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right)^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \right)^2} \right)^3}
\]

Ya hemos calculado que la norma de la primera derivada es 1, por lo que el denominador se simplifica a 1:

\[
\kappa(s) = \left| \frac{1}{2} \left( \frac{1 - 2 \cos \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right) \sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right) \right)}{1 + \frac{s}{\sqrt{2}}} \right) \right|
\]

Simplificando aún más:

\[
\kappa(s) = \frac{1}{2}\left| \frac{
1 - 2 \cos \left(
\ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right)
\right)
\sin \left( \ln \left( 1 + \frac{s}{\sqrt{2}} \right)
\right)}{
1 + \frac{s}{\sqrt{2}}
} \right|
\]

[ani_pascual]

Hola, Berner:
Tienes un error en el cálculo del numerador. Se cancelan los dobles productos de seno y coseno y queda
\( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{1+\dfrac{s}{\sqrt{2}}}=\dfrac{1}{s+\sqrt{2}}=\kappa(s) \)
Saludos

[Berner]

Si gracias puedes  señalame donde es ?
Esto es muy tedioso

[ani_pascual]

Hola:

Si gracias puedes  señalame donde es ?
Esto es muy tedioso

Paciencia...
Tienes el error de cálculo cuando dices Primero calculamos el determinante.
Te debería quedar
\( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1+\frac{s}{\sqrt{2}}}\left[\left(\cos\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{2}}\right)-\sen\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{2}}\right)\right)^2+\left(\cos\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{2}}\right)+\sen\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{2}}\right)\right)^2\right]
 \)
Desarrollando los cuadrados y cancelando términos, llegas a \( \dfrac{1}{s+\sqrt{2}} \)
Saludos