Hola debo hacer esto pero la parte de integracion no la entiendo alguna idea.
NÚMEROS ALEATORIO
EJERCICIOS
1. Utiliza el método de congruencia lineal para generar una secuencia de diez números aleatorios entre 0 y 1 , con:
a) $$X_0=1, a=5, c=0 \mathrm{y} m=16$$.
b) $$X_0=7, a=5, c=3 \mathrm{y} m=16$$.
c) $$X_0=3, a=6, c=0 \mathrm{y} m=11$$.
d) $$X_0=5, a=3, c=0 \mathrm{y} m=150$$.
e) $$X_0=3, a=5, c=7 \mathrm{y} m=150$$.
2. Genere cuatro números aleatorios entre 0 y 1 con cuatro dígitos, mediante un generador de cuadrados medios cuya semilla sea
a) $$4,567,234,902$$
b) $$3,567,345$$
3. Determine el periodo de los siguientes generadores congruenciales:
a) $$X_{n+1}=\left(8 X_n+16\right) \bmod 100$$ y $$X_0=15$$.
b) $$X_{n+1}=\left(53 X_n+17\right) \bmod 64$$ y $$X_0=13$$.
c) $$X_{n+1}=\left(9 X_n+13\right) \bmod 32$$ y $$X_0=8$$.
d) $$X_{n+1}=\left(5 X_n\right) \bmod 64$$ y $$X_0=7$$
e) $$X_{n+1}=\left(13 X_n+13\right) \bmod 16$$ y $$X_0=8$$.
f) $$X_{n+1}=\left(3 X_n\right) \bmod 13$$ y $$X_0=1$$.
4. Use simulación para aproximar las siguientes integrales. Compare su estimación con el valor exacto, si lo conoce.
a) $$\int_0^1 \exp \left(e^x\right) d x$$
b) $$\int_0^1\left(1-x^2\right)^{3 / 2} d x$$
c) $$\int_{-2}^2 e^{x+x^2} d x$$
d) $$\int_0^{-\infty} x\left(1+x^2\right)^{-2} d x$$
e) $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} d x$$
f) $$\int_0^1 \int_0^1 e^{(x+y)^2} d y d x$$
g) $$\int_0^{\infty} \int_0^x e^{-(x+y)} d y d x$$
Sugerencia: Sea $$I_y(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { si } y<x \\ 0, & \text { si } y \geq x\end{array}\right.$$. Use esta función para igualar la integral a una en la cual ambos términos vayan de 0 a $$\infty$$.
Hola esto esta bien:
Ejercicio 1: Método de Congruencia Lineal
El método de congruencia lineal se define por la fórmula:
$$ X_{n+1} = (aX_n + c) \mod m $$
Para obtener números aleatorios entre 0 y 1, dividimos cada número generado por \( m \).
a) \( X_0=1, a=5, c=0 \) y \( m=16 \)
1. \( X_1 = (5 \cdot 1 + 0) \mod 16 = 5 \)
2. \( X_2 = (5 \cdot 5 + 0) \mod 16 = 25 \mod 16 = 9 \)
3. \( X_3 = (5 \cdot 9 + 0) \mod 16 = 45 \mod 16 = 13 \)
4. \( X_4 = (5 \cdot 13 + 0) \mod 16 = 65 \mod 16 = 1 \)
5. \( X_5 = (5 \cdot 1 + 0) \mod 16 = 5 \)
6. \( X_6 = (5 \cdot 5 + 0) \mod 16 = 25 \mod 16 = 9 \)
7. \( X_7 = (5 \cdot 9 + 0) \mod 16 = 45 \mod 16 = 13 \)
8. \( X_8 = (5 \cdot 13 + 0) \mod 16 = 65 \mod 16 = 1 \)
9. \( X_9 = (5 \cdot 1 + 0) \mod 16 = 5 \)
10. \( X_{10} = (5 \cdot 5 + 0) \mod 16 = 25 \mod 16 = 9 \)
Los números aleatorios entre 0 y 1 son:
$$ \left\{ \frac{5}{16}, \frac{9}{16}, \frac{13}{16}, \frac{1}{16}, \frac{5}{16}, \frac{9}{16}, \frac{13}{16}, \frac{1}{16}, \frac{5}{16}, \frac{9}{16} \right\} $$
b) \( X_0=7, a=5, c=3 \) y \( m=16 \)
1. \( X_1 = (5 \cdot 7 + 3) \mod 16 = 38 \mod 16 = 6 \)
2. \( X_2 = (5 \cdot 6 + 3) \mod 16 = 33 \mod 16 = 1 \)
3. \( X_3 = (5 \cdot 1 + 3) \mod 16 = 8 \mod 16 = 8 \)
4. \( X_4 = (5 \cdot 8 + 3) \mod 16 = 43 \mod 16 = 11 \)
5. \( X_5 = (5 \cdot 11 + 3) \mod 16 = 58 \mod 16 = 10 \)
6. \( X_6 = (5 \cdot 10 + 3) \mod 16 = 53 \mod 16 = 5 \)
7. \( X_7 = (5 \cdot 5 + 3) \mod 16 = 28 \mod 16 = 12 \)
8. \( X_8 = (5 \cdot 12 + 3) \mod 16 = 63 \mod 16 = 15 \)
9. \( X_9 = (5 \cdot 15 + 3) \mod 16 = 78 \mod 16 = 14 \)
10. \( X_{10} = (5 \cdot 14 + 3) \mod 16 = 73 \mod 16 = 9 \)
Los números aleatorios entre 0 y 1 son:
$$ \left\{ \frac{6}{16}, \frac{1}{16}, \frac{8}{16}, \frac{11}{16}, \frac{10}{16}, \frac{5}{16}, \frac{12}{16}, \frac{15}{16}, \frac{14}{16}, \frac{9}{16} \right\} $$
c) \( X_0=3, a=6, c=0 \) y \( m=11 \)
1. \( X_1 = (6 \cdot 3 + 0) \mod 11 = 18 \mod 11 = 7 \)
2. \( X_2 = (6 \cdot 7 + 0) \mod 11 = 42 \mod 11 = 9 \)
3. \( X_3 = (6 \cdot 9 + 0) \mod 11 = 54 \mod 11 = 10 \)
4. \( X_4 = (6 \cdot 10 + 0) \mod 11 = 60 \mod 11 = 5 \)
5. \( X_5 = (6 \cdot 5 + 0) \mod 11 = 30 \mod 11 = 8 \)
6. \( X_6 = (6 \cdot 8 + 0) \mod 11 = 48 \mod 11 = 4 \)
7. \( X_7 = (6 \cdot 4 + 0) \mod 11 = 24 \mod 11 = 2 \)
8. \( X_8 = (6 \cdot 2 + 0) \mod 11 = 12 \mod 11 = 1 \)
9. \( X_9 = (6 \cdot 1 + 0) \mod 11 = 6 \)
10. \( X_{10} = (6 \cdot 6 + 0) \mod 11 = 36 \mod 11 = 3 \)
Los números aleatorios entre 0 y 1 son:
$$ \left\{ \frac{7}{11}, \frac{9}{11}, \frac{10}{11}, \frac{5}{11}, \frac{8}{11}, \frac{4}{11}, \frac{2}{11}, \frac{1}{11}, \frac{6}{11}, \frac{3}{11} \right\} $$
d) \( X_0=5, a=3, c=0 \) y \( m=150 \)
1. \( X_1 = (3 \cdot 5 + 0) \mod 150 = 15 \)
2. \( X_2 = (3 \cdot 15 + 0) \mod 150 = 45 \)
3. \( X_3 = (3 \cdot 45 + 0) \mod 150 = 135 \)
4. \( X_4 = (3 \cdot 135 + 0) \mod 150 = 405 \mod 150 = 105 \)
5. \( X_5 = (3 \cdot 105 + 0) \mod 150 = 315 \mod 150 = 15 \)
6. \( X_6 = (3 \cdot 15 + 0) \mod 150 = 45 \)
7. \( X_7 = (3 \cdot 45 + 0) \mod 150 = 135 \)
8. \( X_8 = (3 \cdot 135 + 0) \mod 150 = 405 \mod 150 = 105 \)
9. \( X_9 = (3 \cdot 105 + 0) \mod 150 = 315 \mod 150 = 15 \)
10. \( X_{10} = (3 \cdot 15 + 0) \mod 150 = 45 \)
Los números aleatorios entre 0 y 1 son:
$$ \left\{ \frac{15}{150}, \frac{45}{150}, \frac{135}{150}, \frac{105}{150}, \frac{15}{150}, \frac{45}{150}, \frac{135}{150}, \frac{105}{150}, \frac{15}{150}, \frac{45}{150} \right\} $$
e) \( X_0=3, a=5, c=7 \) y \( m=150 \)
1. \( X_1 = (5 \cdot 3 + 7) \mod 150 = 22 \)
2. \( X_2 = (5 \cdot 22 + 7) \mod 150 = 117 \)
3. \( X_3 = (5 \cdot 117 + 7) \mod 150 = 592 \mod 150 = 92 \)
4. \( X_4 = (5 \cdot 92 + 7) \mod 150 = 467 \mod 150 = 167 \mod 150 = 17 \)
5. \( X_5 = (5 \cdot 17 + 7) \mod 150 = 92 \)
6. \( X_6 = (5 \cdot 92 + 7) \mod 150 = 467 \mod 150 = 167 \mod 150 = 17 \)
7. \( X_7 = (5 \cdot 17 + 7) \mod 150 = 92 \)
8. \( X_8 = (5 \cdot 92 + 7) \mod 150 = 467 \mod 150 = 167 \mod 150 = 17 \)
9. \( X_9 = (5 \cdot 17 + 7) \mod 150 = 92 \)
10. \( X_{10} = (5 \cdot 92 + 7) \mod 150 = 467 \mod 150 = 167 \mod 150 = 17 \)
Los números aleatorios entre 0 y 1 son:
$$ \left\{ \frac{22}{150}, \frac{117}{150}, \frac{92}{150}, \frac{17}{150}, \frac{92}{150}, \frac{17}{150}, \frac{92}{150}, \frac{17}{150}, \frac{92}{150}, \frac{17}{150} \right\} $$
Ejercicio 2: Generador de Cuadrados Medios
a) Semilla: \( 4,567,234,902 \)
1. \( X_0 = 4,567,234,902 \)
2. \( X_1 = (X_0^2) \)
- \( X_0^2 = 20,857,034,123,456,789,604 \)
- Tomamos los dígitos centrales: \( 034,123,456 \)
- Normalizamos: \( \frac{034,123,456}{10^{10}} = 0.3412 \)
3. \( X_2 = (X_1^2) \)
- \( X_1^2 = 1,164,370,123,456 \)
- Tomamos los dígitos centrales: \( 370,123 \)
- Normalizamos: \( \frac{370,123}{10^{6}} = 0.3701 \)
4. \( X_3 = (X_2^2) \)
- \( X_2^2 = 136,990,151,129 \)
- Tomamos los dígitos centrales: \( 990,151 \)
- Normalizamos: \( \frac{990,151}{10^{6}} = 0.9902 \)
5. \( X_4 = (X_3^2) \)
- \( X_3^2 = 980,402,302,401 \)
- Tomamos los dígitos centrales: \( 402,302 \)
- Normalizamos: \( \frac{402,302}{10^{6}} = 0.4023 \)
Los números aleatorios entre 0 y 1 son:
$$ \left\{ 0.3412, 0.3701, 0.9902, 0.4023 \right\} $$
b) Semilla: \( 3,567,345 \)
1. \( X_0 = 3,567,345 \)
2. \( X_1 = (X_0^2) \)
- \( X_0^2 = 12,726,123,456,025 \)
- Tomamos los dígitos centrales: \( 123,456 \)
- Normalizamos: \( \frac{123,456}{10^{6}} = 0.1235 \)
3. \( X_2 = (X_1^2) \)
- \( X_1^2 = 15,241,383,936 \)
- Tomamos los dígitos centrales: \( 241,383 \)
- Normalizamos: \( \frac{241,383}{10^{6}} = 0.2414 \)
4. \( X_3 = (X_2^2) \)
- \( X_2^2 = 58,266,529 \)
- Tomamos los dígitos centrales: \( 266,529 \)
- Normalizamos: \( \frac{266,529}{10^{6}} = 0.2665 \)
5. \( X_4 = (X_3^2) \)
- \( X_3^2 = 71,048,625 \)
- Tomamos los dígitos centrales: \( 048,625 \)
- Normalizamos: \( \frac{048,625}{10^{6}} = 0.0486 \)
Los números aleatorios entre 0 y 1 son:
$$ \left\{ 0.1235, 0.2414, 0.2665, 0.0486 \right\} $$
Ejercicio 3: Periodo de Generadores Congruenciales
a) \( X_{n+1} = (8X_n + 16) \mod 100 \) y \( X_0 = 15 \)
1. \( X_1 = (8 \cdot 15 + 16) \mod 100 = 136 \mod 100 = 36 \)
2. \( X_2 = (8 \cdot 36 + 16) \mod 100 = 304 \mod 100 = 4 \)
3. \( X_3 = (8 \cdot 4 + 16) \mod 100 = 48 \mod 100 = 48 \)
4. \( X_4 = (8 \cdot 48 + 16) \mod 100 = 400 \mod 100 = 0 \)
5. \( X_5 = (8 \cdot 0 + 16) \mod 100 = 16 \)
6. \( X_6 = (8 \cdot 16 + 16) \mod 100 = 144 \mod 100 = 44 \)
7. \( X_7 = (8 \cdot 44 + 16) \mod 100 = 368 \mod 100 = 68 \)
8. \( X_8 = (8 \cdot 68 + 16) \mod 100 = 560 \mod 100 = 60 \)
9. \( X_9 = (8 \cdot 60 + 16) \mod 100 = 496 \mod 100 = 96 \)
10. \( X_{10} = (8 \cdot 96 + 16) \mod 100 = 784 \mod 100 = 84 \)
11. \( X_{11} = (8 \cdot 84 + 16) \mod 100 = 688 \mod 100 = 88 \)
12. \( X_{12} = (8 \cdot 88 + 16) \mod 100 = 720 \mod 100 = 20 \)
13. \( X_{13} = (8 \cdot 20 + 16) \mod 100 = 176 \mod 100 = 76 \)
14. \( X_{14} = (8 \cdot 76 + 16) \mod 100 = 624 \mod 100 = 24 \)
15. \( X_{15} = (8 \cdot 24 + 16) \mod 100 = 208 \mod 100 = 8 \)
16. \( X_{16} = (8 \cdot 8 + 16) \mod 100 = 80 \mod 100 = 80 \)
17. \( X_{17} = (8 \cdot 80 + 16) \mod 100 = 656 \mod 100 = 56 \)
18. \( X_{18} = (8 \cdot 56 + 16) \mod 100 = 464 \mod 100 = 64 \)
19. \( X_{19} = (8 \cdot 64 + 16) \mod 100 = 528 \mod 100 = 28 \)
20. \( X_{20} = (8 \cdot 28 + 16) \mod 100 = 240 \mod 100 = 40 \)
21. \( X_{21} = (8 \cdot 40 + 16) \mod 100 = 336 \mod 100 = 36 \)
Observamos que \( X_{21} = X_1 \), por lo tanto, el periodo es 20.
b) \( X_{n+1} = (53X_n + 17) \mod 64 \) y \( X_0 = 13 \)
1. \( X_1 = (53 \cdot 13 + 17) \mod 64 = 706 \mod 64 = 2 \)
2. \( X_2 = (53 \cdot 2 + 17) \mod 64 = 123 \mod 64 = 59 \)
3. \( X_3 = (53 \cdot 59 + 17) \mod 64 = 3154 \mod 64 = 18 \)
4. \( X_4 = (53 \cdot 18 + 17) \mod 64 = 971 \mod 64 = 11 \)
5. \( X_5 = (53 \cdot 11 + 17) \mod 64 = 600 \mod 64 = 24 \)
6. \( X_6 = (53 \cdot 24 + 17) \mod 64 = 1289 \mod 64 = 9 \)
7. \( X_7 = (53 \cdot 9 + 17) \mod 64 = 494 \mod 64 = 54 \)
8. \( X_8 = (53 \cdot 54 + 17) \mod 64 = 2909 \mod 64 = 29 \)
9. \( X_9 = (53 \cdot 29 + 17) \mod 64 = 1554 \mod 64 = 18 \)
Observamos que \( X_9 = X_3 \), por lo tanto, el periodo es 6.
c) \( X_{n+1} = (9X_n + 13) \mod 32 \) y \( X_0 = 8 \)
1. \( X_1 = (9 \cdot 8 + 13) \mod 32 = 85 \mod 32 = 21 \)
2. \( X_2 = (9 \cdot 21 + 13) \mod 32 = 202 \mod 32 = 10 \)
3. \( X_3 = (9 \cdot 10 + 13) \mod 32 = 103 \mod 32 = 7 \)
4. \( X_4 = (9 \cdot 7 + 13) \mod 32 = 76 \mod 32 = 12 \)
5. \( X_5 = (9 \cdot 12 + 13) \mod 32 = 121 \mod 32 = 25 \)
6. \( X_6 = (9 \cdot 25 + 13) \mod 32 = 238 \mod 32 = 14 \)
7. \( X_7 = (9 \cdot 14 + 13) \mod 32 = 139 \mod 32 = 11 \)
8. \( X_8 = (9 \cdot 11 + 13) \mod 32 = 112 \mod 32 = 16 \)
9. \( X_9 = (9 \cdot 16 + 13) \mod 32 = 157 \mod 32 = 29 \)
10. \( X_{10} = (9 \cdot 29 + 13) \mod 32 = 274 \mod 32 = 18 \)
11. \( X_{11} = (9 \cdot 18 + 13) \mod 32 = 175 \mod 32 = 15 \)
12. \( X_{12} = (9 \cdot 15 + 13) \mod 32 = 148 \mod 32 = 20 \)
13. \( X_{13} = (9 \cdot 20 + 13) \mod 32 = 193 \mod 32 = 1 \)
14. \( X_{14} = (9 \cdot 1 + 13) \mod 32 = 22 \mod 32 = 22 \)
15. \( X_{15} = (9 \cdot 22 + 13) \mod 32 = 211 \mod 32 = 19 \)
16. \( X_{16} = (9 \cdot 19 + 13) \mod 32 = 184 \mod 32 = 24 \)
17. \( X_{17} = (9 \cdot 24 + 13) \mod 32 = 229 \mod 32 = 5 \)
18. \( X_{18} = (9 \cdot 5 + 13) \mod 32 = 58 \mod 32 = 26 \)
19. \( X_{19} = (9 \cdot 26 + 13) \mod 32 = 247 \mod 32 = 23 \)
20. \( X_{20} = (9 \cdot 23 + 13) \mod 32 = 220 \mod 32 = 28 \)
21. \( X_{21} = (9 \cdot 28 + 13) \mod 32 = 265 \mod 32 = 9 \)
22. \( X_{22} = (9 \cdot 9 + 13) \mod 32 = 94 \mod 32 = 30 \)
23. \( X_{23} = (9 \cdot 30 + 13) \mod 32 = 283 \mod 32 = 27 \)
24. \( X_{24} = (9 \cdot 27 + 13) \mod 32 = 256 \mod 32 = 0 \)
25. \( X_{25} = (9 \cdot 0 + 13) \mod 32 = 13 \)
26. \( X_{26} = (9 \cdot 13 + 13) \mod 32 = 130 \mod 32 = 2 \)
27. \( X_{27} = (9 \cdot 2 + 13) \mod 32 = 31 \mod 32 = 31 \)
28. \( X_{28} = (9 \cdot 31 + 13) \mod 32 = 292 \mod 32 = 4 \)
29. \( X_{29} = (9 \cdot 4 + 13) \mod 32 = 49 \mod 32 = 17 \)
30. \( X_{30} = (9 \cdot 17 + 13) \mod 32 = 166 \mod 32 = 6 \)
31. \( X_{31} = (9 \cdot 6 + 13) \mod 32 = 67 \mod 32 = 3 \)
32. \( X_{32} = (9 \cdot 3 + 13) \mod 32 = 40 \mod 32 = 8 \)
Observamos que \( X_{32} = X_0 \), por lo tanto, el periodo es 32.
d) \( X_{n+1} = (5X_n) \mod 64 \) y \( X_0 = 7 \)
1. \( X_1 = (5 \cdot 7) \mod 64 = 35 \)
2. \( X_2 = (5 \cdot 35) \mod 64 = 175 \mod 64 = 47 \)
3. \( X_3 = (5 \cdot 47) \mod 64 = 235 \mod 64 = 43 \)
4. \( X_4 = (5 \cdot 43) \mod 64 = 215 \mod 64 = 23 \)
5. \( X_5 = (5 \cdot 23) \mod 64 = 115 \mod 64 = 51 \)
6. \( X_6 = (5 \cdot 51) \mod 64 = 255 \mod 64 = 63 \)
7. \( X_7 = (5 \cdot 63) \mod 64 = 315 \mod 64 = 59 \)
8. \( X_8 = (5 \cdot 59) \mod 64 = 295 \mod 64 = 39 \)
9. \( X_9 = (5 \cdot 39) \mod 64 = 195 \mod 64 = 3 \)
mod 64 \) y \( X_0 = 7 \) (continuación)
10. \( X_{10} = (5 \cdot 3) \mod 64 = 15 \)
11. \( X_{11} = (5 \cdot 15) \mod 64 = 75 \mod 64 = 11 \)
12. \( X_{12} = (5 \cdot 11) \mod 64 = 55 \)
13. \( X_{13} = (5 \cdot 55) \mod 64 = 275 \mod 64 = 19 \)
14. \( X_{14} = (5 \cdot 19) \mod 64 = 95 \mod 64 = 31 \)
15. \( X_{15} = (5 \cdot 31) \mod 64 = 155 \mod 64 = 27 \)
16. \( X_{16} = (5 \cdot 27) \mod 64 = 135 \mod 64 = 7 \)
Observamos que \( X_{16} = X_0 \), por lo tanto, el periodo es 16.
e) \( X_{n+1} = (13X_n + 13) \mod 16 \) y \( X_0 = 8 \)
1. \( X_1 = (13 \cdot 8 + 13) \mod 16 = 117 \mod 16 = 5 \)
2. \( X_2 = (13 \cdot 5 + 13) \mod 16 = 78 \mod 16 = 14 \)
3. \( X_3 = (13 \cdot 14 + 13) \mod 16 = 195 \mod 16 = 3 \)
4. \( X_4 = (13 \cdot 3 + 13) \mod 16 = 52 \mod 16 = 4 \)
5. \( X_5 = (13 \cdot 4 + 13) \mod 16 = 65 \mod 16 = 1 \)
6. \( X_6 = (13 \cdot 1 + 13) \mod 16 = 26 \mod 16 = 10 \)
7. \( X_7 = (13 \cdot 10 + 13) \mod 16 = 143 \mod 16 = 15 \)
8. \( X_8 = (13 \cdot 15 + 13) \mod 16 = 208 \mod 16 = 0 \)
9. \( X_9 = (13 \cdot 0 + 13) \mod 16 = 13 \)
10. \( X_{10} = (13 \cdot 13 + 13) \mod 16 = 182 \mod 16 = 6 \)
11. \( X_{11} = (13 \cdot 6 + 13) \mod 16 = 91 \mod 16 = 11 \)
12. \( X_{12} = (13 \cdot 11 + 13) \mod 16 = 156 \mod 16 = 12 \)
13. \( X_{13} = (13 \cdot 12 + 13) \mod 16 = 169 \mod 16 = 9 \)
14. \( X_{14} = (13 \cdot 9 + 13) \mod 16 = 130 \mod 16 = 2 \)
15. \( X_{15} = (13 \cdot 2 + 13) \mod 16 = 39 \mod 16 = 7 \)
16. \( X_{16} = (13 \cdot 7 + 13) \mod 16 = 104 \mod 16 = 8 \)
Observamos que \( X_{16} = X_0 \), por lo tanto, el periodo es 16.
f) \( X_{n+1} = (3X_n) \mod 13 \) y \( X_0 = 1 \)
1. \( X_1 = (3 \cdot 1) \mod 13 = 3 \)
2. \( X_2 = (3 \cdot 3) \mod 13 = 9 \)
3. \( X_3 = (3 \cdot 9) \mod 13 = 27 \mod 13 = 1 \)
Observamos que \( X_3 = X_0 \), por lo tanto, el periodo es 3.
Ejercicio 4:Simulación para Aproximar Integrales no se alguna idea
